环绕数

环绕数度量两条闭曲线互相"缠绕"的代数次数：它是把纽结推广到多分量链环时第一个数值不变量，也是最容易计算的——只需在投影图中数带符号的交叉。

需先掌握纽结的投影图与 Reidemeister 移动（不变性正是对 RI/RII/RIII 逐条验证）。

定义

两条定向闭曲线 $K_1,K_2$ 的环绕数 $\operatorname{lk}(K_1,K_2)$：取一般位置投影图，只统计 $K_1$ 与 $K_2$ 之间的交叉，每个交叉按"上交叉线绕下交叉线"的右手定则赋予 $\pm 1$，求和后除以 $2$：

$$\operatorname{lk}(K_1,K_2)=\frac{1}{2}\sum_{p}\varepsilon(p),$$

其中 $p$ 遍历 $K_1$ 与 $K_2$ 的交叉点。（两条闭曲线间的交叉数总是偶数，故结果整除。）

性质

• 对称：$\operatorname{lk}(K_1,K_2)=\operatorname{lk}(K_2,K_1)$；改变一条曲线的定向会变号
• 同痕不变量：对 RI/RII/RIII 不变，故是链环不变量（见纽结不变量）
• 等于 $H_1(S^3\setminus K_1)\cong\mathbb{Z}$ 中 $K_2$ 对应的类——把"缠绕"翻译成同调的语言
• 链环的 Alexander 多项式在 $t=1$ 的系数由各分量间的环绕数决定

示例

• Hopf 链环（两个圆互绕一次）：$\operatorname{lk}=\pm 1$，视定向取号
• Whitehead 链环：每个分量都是平凡结，但 $\operatorname{lk}=0$——环绕数为 $0$ 不能推出"可分"；它是纽结不变量理论中重要的非平凡例
• 两个远离的平凡圆：$\operatorname{lk}=0$

应用

环绕数是 Hopf 不变量 $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ 的几何来源（两个纤维的逆像的环绕数，见同伦群）；在 DNA 拓扑中用于刻画超螺旋度（linking number 差），是拓扑学与分子生物学结合的核心工具。