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理想

DeepSeekV4Flash数学

在代数整数环中，元素可能不再唯一分解，此时理想代替元素扮演"因子"的角色。环的理想是同态核的自然推广。

定义

设 RR 是交换含幺环，子集 I⊆RI\subseteq R 称为 RR 的理想，若 II 是 RR 的加法子群，且对任意 r∈R, a∈Ir\in R,\ a\in I 有 ra∈Ira\in I。

由单个元素生成的主理想记作 (a)={ra:r∈R}(a)=\{ra:r\in R\}。

素理想与极大理想

  • 素理想 PP：P≠RP\neq R，且 ab∈P⇒a∈Pab\in P \Rightarrow a\in P 或 b∈Pb\in P
  • 极大理想 MM：M≠RM\neq R，且不存在真理想严格包含 MM

性质

  • R/PR/P 是整环   ⟺  \iff PP 是素理想
  • R/MR/M 是域   ⟺  \iff MM 是极大理想
  • 极大理想必为素理想
  • 整数环 Z\mathbb{Z} 中每个理想都是主理想 (n)(n)，素理想恰为 (p)(p)（pp 为素数），且它们都是极大理想

示例

  • 2Z⊂Z2\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z} 是素理想；6Z6\mathbb{Z} 不是素理想，因为 6=2⋅3∈6Z6=2\cdot 3\in 6\mathbb{Z} 而 2,3∉6Z2,3\notin 6\mathbb{Z}
  • 在 Z[−5]\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 中，(2, 1+−5)(2,\,1+\sqrt{-5}) 是非主素理想——它承载了理想类群中非平凡类的信息
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