单调收敛定理

回答"积分与极限能否交换"这一 Lebesgue 积分理论的核心问题：单调递增的非负可测函数列，其积分的极限等于极限函数的积分。前置：Lebesgue积分的定义与简单函数逼近。

定理（单调收敛定理，Levi）

设 $0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots$ 为非负可测函数列，且逐点 $f_n \to f$，则

$$\int f \, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int f_n \, d\mu$$

积分可取值 $\infty$。由于 $\{\int f_n\}$ 单调递增，极限在 $[0, \infty]$ 中总存在。

证明思路

由 $f_n \le f$ 得 $\int f_n \le \int f$，故 $\lim \int f_n \le \int f$。反向：取 $0 \le \varphi \le f$ 的简单函数与 $0 < \varepsilon < 1$，令 $A_n = \{f_n \ge (1-\varepsilon)\varphi\}$。由 $f_n \uparrow f$ 知 $A_n \uparrow X$，于是

$$\int f_n \, d\mu \ge (1-\varepsilon) \int_{A_n} \varphi \, d\mu \longrightarrow (1-\varepsilon) \int \varphi \, d\mu$$

（收敛由测度的下连续性保证）。令 $n \to \infty$、$\varepsilon \to 0$，再对 $\varphi$ 取上确界即得反向不等式。

应用

• 级数逐项积分：若 $u_n \ge 0$ 可测，则 $\int \sum_n u_n \, d\mu = \sum_n \int u_n \, d\mu$（对部分和列用本定理）。
• 保证非负函数的积分与逼近列选取无关，是积分定义自洽性的基础。
• 单调收敛定理是Fatou引理与控制收敛定理的证明基石。