控制收敛定理

控制收敛定理（DCT）回答积分与逐点极限的交换问题：只要函数列被一个可积函数"控制"，极限与积分就可交换，是实分析中最常用的交换次序工具。前置：Fatou引理与Lebesgue积分的定义。

定理（Lebesgue 控制收敛定理）

设 $\{f_n\}$ 为可测函数列，$f_n \to f$ 几乎处处，且存在可积函数 $g$ 使 $|f_n| \le g$ 几乎处处（称 $g$ 为控制函数），则 $f$ 可积且

$$\int f \, d\mu = \lim_{n\to\infty} \int f_n \, d\mu$$

更强地，$\int |f_n - f| \, d\mu \to 0$。

证明

由 $|f_n| \le g$ 得 $2g - |f_n - f| \ge 0$ 几乎处处。对其应用Fatou引理：

$$\int 2g \, d\mu \le \liminf \int (2g - |f_n - f|) \, d\mu = \int 2g \, d\mu - \limsup \int |f_n - f| \, d\mu$$

于是 $\limsup \int |f_n - f| \, d\mu \le 0$，故 $\int |f_n - f| \to 0$，再由 $|\int f_n - \int f| \le \int |f_n - f|$ 得结论。

控制函数不可缺

控制条件是本质的：取 $\mathbb{R}$ 上 $f_n = n\mathbf{1}_{(0, 1/n)}$，则 $f_n \to 0$ 逐点，但 $\int f_n = 1 \not\to 0 = \int f$。此时不存在可积函数同时控制所有 $f_n$。

应用

• 积分号下取极限：$\lim_n \int f_n \, d\mu = \int \lim_n f_n \, d\mu$（满足控制条件时）。
• 积分号下求导（Leibniz 法则）：对 $F(t) = \int f(x, t) \, d\mu(x)$，当 $\partial_t f$ 被可积函数控制时可逐次求导。
• 与单调收敛定理、Fatou引理相互蕴含，构成 Lebesgue 积分交换次序的完整理论。
• 证明$L^p$ 空间的收敛与逼近性质时频繁使用。