简单函数

只取有限多个值的可测函数，是构造 Lebesgue 积分的脚手架：一切非负可测函数都可由简单函数列逐点逼近，积分先对简单函数定义再经极限推广。需先掌握可测函数的定义。

定义

设 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 为测度空间。形如

$$\varphi(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k \mathbf{1}_{A_k}(x), \qquad A_k \in \mathcal{A}, \ a_k \ge 0$$

的函数称为非负简单函数，其中 $\mathbf{1}_A$ 为集合 $A$ 的指示函数。若 $a_k$ 两两不同、$A_k$ 两两不交且并为全空间，则称标准表示，此时系数 $a_k$ 与集合 $A_k$ 由 $\varphi$ 唯一确定。

性质

• 简单函数必为可测函数。
• 简单函数的线性组合与乘积仍为简单函数。

逼近定理

对任意非负可测函数 $f$，存在递增的非负简单函数列 $\{\varphi_n\}$ 使

$$\varphi_n \uparrow f \quad \text{逐点成立}$$

当 $f$ 有界时逼近可做到一致。一般可测函数通过 $f = f^+ - f^-$ 分解为两个非负函数处理。

与 Lebesgue 积分的关系

非负简单函数 $\varphi = \sum_{k=1}^{n} a_k \mathbf{1}_{A_k}$（标准表示）的积分定义为

$$\int \varphi \, d\mu = \sum_{k=1}^{n} a_k \mu(A_k)$$

该值不依赖于表示的选择。非负可测函数的Lebesgue 积分正是取所有不高于 $f$ 的简单函数积分的上确界；单调收敛定理保证用逼近列取极限与这一定义相容。