拓扑场论

量子场论通常依赖时空度规，而拓扑场论要求所有可观测量与度规无关——于是理论只能通过流形的拓扑（配边、纽结、同调）产生不变量。它把"流形分类"变成量子力学问题，也是拓扑序（见拓扑序）等凝聚态物相的低能数学框架。

需先掌握同伦/上同调层面的流形拓扑与线性代数；陈-西蒙斯理论是它最重要的具体实现。

定义（Atiyah 公理）

一个 $(d+1)$ 维拓扑量子场论是保结构的函子

$$Z:\mathrm{Bord}_{d,d+1}\to\mathrm{Vect}_k,$$

把 $d$ 维闭流形 $M$ 映为向量空间 $Z(M)$，把 $d+1$ 维配边 $W$（$\partial W=\partial_-W\sqcup\partial_+W$）映为线性映射 $Z(W):Z(\partial_-W)\to Z(\partial_+W)$，满足：$Z(\varnothing)=k$、$Z(M\sqcup N)=Z(M)\otimes Z(N)$、$Z(M^{op})=Z(M)^*$、配边的粘贴对应映射的合成。

性质

• 闭 $(d+1)$ 维流形 $W$ 给出数 $Z(W)\in k$，即流形不变量
• $Z(M)$ 是有限维向量空间，配对 $Z(M)\otimes Z(M)^*\to k$ 非退化
• 二维 TQFT 一一对应于交换 Frobenius 代数；三维 TQFT 与量子群表示论、纽结不变量紧密相关

示例

• 二维：$Z(S^1)$ 是 Frobenius 代数 $A$，配边曲面给出 $A$ 的乘法与余乘法结构
• 三维：$\mathrm{SU}(2)$ 陈-西蒙斯理论（level $k$）经手术演算给出 Reshetikhin–Turaev 不变量，可区分大量三维流形与几何化中的流形；Wilson 圈期望值给出 纽结不变量（Jones 多项式）

应用

TQFT 是拓扑序、容错量子计算的数学基础，在弦论（镜对称、Gromov–Witten 理论）与量子引力（Chern–Simons 引力、Kodama 态）中广泛应用。