Mapper算法

持久同调回答"有哪些洞"，Mapper 回答"数据整体长什么样"：把高维点云压缩成一张图，保留聚类、分支与环结构，是 Reeb 图在离散数据上的有限逼近。

需先掌握连通性（聚类直观）与连续映射与同胚，了解持久同调的数据科学背景。

定义

给定数据 $X$ 与透镜函数 $f:X\to\mathbb{R}^d$（如偏心率、密度估计、PCA 坐标）：

1. 取 $f$ 值域的一组开覆盖 $\{U_\alpha\}$（常为带重叠的区间格）
2. 对每层 $f^{-1}(U_\alpha)$ 做聚类（常用 single-linkage），每个聚类作为一个节点
3. 两个节点若包含公共数据点（来自相邻层的重叠）则连边

所得图称为 Mapper 图。

性质

• Mapper 图保留 $H_0$ 信息（连通分量），部分保留环与分支结构，但不保证恢复所有高维同调
• 对覆盖（区间个数、重叠率）与聚类参数敏感：覆盖越细、聚类越紧，图越精细
• 对数据噪声与透镜函数选择稳定（有理论保证的版本基于单连接聚类）

示例

• 圆柱面点云配高度函数：Mapper 图为线段；配环向角函数：Mapper 图为一个环
• 手写数字（MNIST）的 3 与 8：用密度作透镜，Mapper 图呈环形（两类都围绕中心空洞），可据此识别
• 材料数据库：Mapper 发现组分—性质的相边界与极端性能子群

应用

Mapper 用于探索性数据分析：癌症亚型识别、异常检测、数据中环状结构发现（商业实现 Ayasdi）；与持久同调互补使用。