拓扑序

Landau 对称破缺范式用局域序参量刻画物相，但分数量子霍尔态、量子自旋液体没有局域序参量却仍是不同的物相。拓扑序 用基态的拓扑纠缠结构区分它们，其低能有效理论是拓扑场论。

需先掌握量子力学基础；陈-西蒙斯理论与拓扑场论提供其数学描述。

定义

拓扑序 是零温量子物相的一种分类方式，其特征为：基态简并度依赖流形拓扑（如环面上的简并度）、存在分数统计的准粒子激发（任意子）、对局域扰动鲁棒，且不能被局域序参量（对称性自发破缺）刻画。

性质

• 环面简并度：等于对应 TQFT 的 $Z(T^2)$ 维数，如 $\mathbb{Z}_2$ 环面码简并度为 4
• 任意子：交换给出分数统计——阿贝尔任意子给相位 $e^{i\theta}$（$\theta\ne0,\pi$），非阿贝尔任意子给矩阵表示；$\nu=1/3$ 分数量子霍尔态的任意子带电荷 $e/3$
• 拓扑纠缠熵：纠缠熵 $S=aL-\gamma$ 的常数项 $\gamma$ 是拓扑量（环面码 $\gamma=\ln 2$）
• 简并对局域扰动鲁棒 → 天然适合容错量子计算

示例

• 分数量子霍尔态（Laughlin $\nu=1/3$）：低能有效理论为 $\mathrm{U}(1)_3$ 陈-西蒙斯理论
• $\mathbb{Z}_2$ 自旋液体（Kitaev 环面码）：任意子为 $e$、$m$、$\varepsilon=e\times m$，环面基态简并度 4
• Kitaev 蜂窝模型（$\mathrm{SU}(2)$ 自旋液体）；拓扑绝缘体的边界态属对称性保护拓扑序（SPT）

应用

拓扑序是拓扑量子计算（非阿贝尔任意子编码量子比特）的物理基础，也是凝聚态与拓扑场论、张量范畴交汇的核心对象。