定义：环是一个集合 $R$，其上定义了两个运算：加法和乘法，使得这个集合在这些运算下满足以下性质：

1. 加法运算：$(R, +)$ 是一个交换群。

   • 封闭性：对于任意 $a, b \in R$，$a + b \in R$。
   • 结合性：对于任意 $a, b, c \in R$，$(a + b) + c = a + (b + c)$。
   • 交换性：对于任意 $a, b \in R$，$a + b = b + a$。
   • 存在加法单位元：存在 $0 \in R$，使得对于任意 $a \in R$，$a + 0 = a$。
   • 存在加法逆元：对于任意 $a \in R$，存在 $-a \in R$，使得 $a + (-a) = 0$。

2. 乘法运算：$(R, \cdot)$ 是一个半群。

   • 封闭性：对于任意 $a, b \in R$，$a \cdot b \in R$。
   • 结合性：对于任意 $a, b, c \in R$，$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。

3. 分配律：

   • 对于任意 $a, b, c \in R$，$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ 和 $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$。

示例

• 整数集合 $\mathbb{Z}$ 在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
• 多项式集合 $\mathbb{Z}[x]$ 在多项式加法和乘法运算下也是一个环。