奇异测度与Cantor集

Cantor 三分集是测度论中最经典的反例源泉：它不可数却零测度、完备却无处稠密，其上的 Cantor 函数又诱导出与 Lebesgue 测度互相"垂直"的奇异测度。理解它是看清测度绝对连续、等价与奇异三分法的关键。需先掌握可测集与外测度。

构造

把 $[0,1]$ 三等分并去掉中间的开区间 $(1/3,\,2/3)$，再对剩下的两个闭区间各自去掉中间三分之一，如此无限进行。第 $n$ 步得到 $2^n$ 个闭区间，总长 $(2/3)^n \to 0$。这些集合的交 $C$ 称为 Cantor 三分集：

$$C = \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n, \qquad m(C) = \lim_{n\to\infty} (2/3)^n = 0$$

$C$ 恰是 $[0,1]$ 中三进制展开不含数字 $1$ 的数。

性质

• 不可数：$C$ 与 $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 等势，基数为连续统 $\mathfrak{c}$。零测度与不可数并不矛盾——测度"大小"与基数"多少"是两种不同的量。
• 完备：$C$ 是闭集且没有孤立点（每个点都是自身的极限点）。
• 无处稠密：$C$ 不含任何开区间，内部为空。
• 自相似：$C = (C/3) \cup (2/3 + C/3)$，是分形构造的原型。

Cantor 函数

把 $x \in [0,1]$ 用不含数字 $1$ 的三进制展开，逐位把数字 $2$ 换成 $1$、数字 $0$ 保持不变，再按二进制读出，得到的函数 $F$ 称为 Cantor 函数（魔鬼阶梯）。它在每个被挖去的开区间上取常值，故连续且单调不减，$F(0)=0,\ F(1)=1$，而 $F'=0$ a.e.（在 $C$ 的补集上处处可导且导数为零）。它把零测集 $C$ 映到满测度：$m(F(C))=1$，是"导数几乎处处为零却非常值函数"的标准反例。

奇异测度

由 Cantor 函数 $F$ 诱导 Lebesgue–Stieltjes 测度

$$\mu_F([a,b]) = F(b) - F(a)$$

则 $\mu_F$ 与 Lebesgue 测度 $m$ 互相奇异（记 $\mu_F \perp m$）：取 $N = C$，有 $m(C) = 0$，而 $F$ 在 $C^c$ 的每个构成区间上取常值，故 $\mu_F(C^c) = 0$。同时 $\mu_F$ 无原子（$\mu_F(\{x\})=0$，因 $F$ 连续），且不绝对连续于 $m$——否则由 Radon-Nikodym定理 存在密度 $f$，使 $F(x)=\int_0^x f\,dm$，$F$ 将绝对连续，矛盾。这类测度称为奇异连续测度：既无原子、又无密度，是 Lebesgue 分解中"奇异部分"的典型代表。

后续

Cantor 集与奇异测度用于说明Radon-Nikodym定理的条件不可省（奇异测度不能写成密度），在概率论中给出无密度、无原子的奇异连续分布，也是弱导数与 Sobolev 空间理论中构造反例的基础（Cantor 函数几乎处处可导却非弱可导）。