测度之间的关系

同一集合上可以定义许多测度，比较它们的"相对大小"引出三种基本关系：绝对连续（$\nu \ll \mu$）、等价（$\mu \sim \nu$）与奇异（$\nu \perp \mu$）。它们是 Radon–Nikodym 定理与 Lebesgue 分解的语境，也是概率论中比较分布、统计中比较模型的常用语言。需先掌握测度的定义与性质，并了解Radon-Nikodym定理。

定义

设 $\mu,\ \nu$ 为可测空间 $(X, \mathcal{A})$ 上的两个测度。

• 绝对连续：若 $\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0$，记 $\nu \ll \mu$，称 $\nu$ 关于 $\mu$ 绝对连续。
• 等价：若 $\nu \ll \mu$ 且 $\mu \ll \nu$，记 $\mu \sim \nu$，称 $\mu$ 与 $\nu$ 等价（此时两者零测集完全相同）。
• 奇异：若存在 $N \in \mathcal{A}$ 使 $\mu(N)=0$ 且 $\nu(X \setminus N)=0$，记 $\nu \perp \mu$，称 $\nu$ 与 $\mu$ 互相奇异（质量支撑互不相交）。

性质

• 偏序结构：$\ll$ 是自反、传递的二元关系，在等价类（$\sim$ 的等价类）上构成偏序；$\perp$ 是"不相交"关系，且 $\nu \ll \mu$ 与 $\nu \perp \mu$ 同时成立当且仅当 $\nu = 0$。
• 密度生成：若 $\nu \ll \mu$ 且 $\mu,\ \nu$ 均为 $\sigma$-有限，则存在唯一（a.e.）可测函数 $f \ge 0$ 使

$$\nu(A) = \int_A f\,d\mu, \qquad f = \frac{d\nu}{d\mu}$$

即绝对连续恰好等价于"可写成密度"（Radon-Nikodym定理）。

• ε-δ 刻画（$\mu$ 有限时）：$\nu \ll \mu$ 当且仅当对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$，使 $\mu(A)<\delta \Rightarrow \nu(A)<\varepsilon$。
• Lebesgue 分解：对任意 $\sigma$-有限测度 $\nu$，相对给定的 $\mu$ 有唯一分解

$$\nu = \nu_{ac} + \nu_s, \qquad \nu_{ac} \ll \mu,\quad \nu_s \perp \mu$$

其中 $\nu_{ac}$ 有密度 $d\nu_{ac}/d\mu$，$\nu_s$ 是奇异部分。

例

• 绝对连续：$\nu(A)=\int_A e^{-x}\,dx$ 关于 Lebesgue 测度 $m$ 绝对连续；其密度为 $e^{-x}$。
• 等价：Lebesgue 测度与 $\nu(A)=\int_A e^{-x}\,dx$ 等价（$e^{-x}>0$ 恒正，两者零测集相同）；概率论中 $P \sim Q$ 指 $P$ 与 $Q$ 有相同的零概率事件。
• 奇异：Dirac 测度 $\delta_0$ 与 Lebesgue 测度互相奇异；Cantor 测度与 Lebesgue 测度互相奇异（连续却无密度）。
• 分解：任意分布函数唯一分解为绝对连续部分（有密度）与奇异部分（原子或 Cantor 型）之和，对应上述 Lebesgue 分解。

后续

绝对连续与等价是Radon-Nikodym定理、条件数学期望与统计中似然比（$dP/dQ$）的数学基础，也用于判断不同测度下收敛与积分的可移植性；奇异测度则说明密度方法并非总能适用，需借助Lebesgue 分解分离出奇异部分。