测度生成与外测度构造

测度往往不能直接定义在全部子集上（存在不可测集），而区间长度、概率等"局部信息"只能先给出一个预测度。测度生成解决"如何从外测度或预测度唯一构造出 σ-代数上的完备测度"，是把外测度转化为真正测度的关键一步，也是概率论公理化与乘积测度构造的基础。需先掌握外测度、可测集与测度的定义与性质。

从外测度构造测度（Carathéodory）

设 $\mu^*$ 是集合 $X$ 上的外测度（非负、单调、次可数可加、$\mu^*(\varnothing) = 0$）。称 $E \subseteq X$ 为 $\mu^*$-可测，若对一切 $A \subseteq X$ 成立分解等式

$$\mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \setminus E)$$

• 全部 $\mu^*$-可测集构成 σ-代数 $\mathcal{M}$；
• $\mu^*$ 限制在 $\mathcal{M}$ 上是完备测度（可测集的子集仍可测）；
• 这就是 Lebesgue 测度的构造方式：由开区间长度先得外测度，再用分解等式筛出可测集。

从预测度扩张（Hahn–Kolmogorov）

设 $\mathcal{A}_0$ 是 $X$ 上的代数（或半环），$\mu_0: \mathcal{A}_0 \to [0, \infty]$ 是预测度（在 $\mathcal{A}_0$ 上可数可加）。则

• 存在 $\sigma(\mathcal{A}_0)$ 上的测度 $\mu$ 使 $\mu|_{\mathcal{A}_0} = \mu_0$；
• 若 $\mu_0$ 是 σ-有限的（$X$ 可被可数个有限测度集覆盖），则扩张唯一。

这就是 Lebesgue 测度、Lebesgue–Stieltjes 测度与概率测度（Kolmogorov 扩张定理）的存在性依据。

例

• Lebesgue 测度：代数取有限个区间的并，$\mu_0$ 取区间长度，扩张得到 $\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 测度。
• Lebesgue–Stieltjes 测度：由右连续递增函数 $F$ 诱导，$\mu_0((a, b]) = F(b) - F(a)$ 扩张得到（见分布函数）。
• 概率论：由分布函数诱导的概率测度，Kolmogorov 扩张定理给出随机过程的存在性。

后续

测度生成是乘积测度、Radon-Nikodym定理与概率论公理化的基础；奇异测度的存在、以及 $L^p$ 空间中函数类的完备化都依赖这套构造。