洛朗级数

洛朗级数是泰勒级数在复平面上的推广，核心区别在于展开区域和项的结构。

泰勒级数 vs 洛朗级数

	泰勒级数	洛朗级数
区域	圆盘 $\vert z-z_0\vert <R$	圆环 $r<\vert z-z_0\vert <R$
条件	在圆盘内处处解析（无奇点）	允许 $z_0$ 为奇点
项	仅正次方	含负次方

洛朗级数的完整形式：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \underbrace{\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z-z_0}}_{\text{主要部分（负次方，因奇点产生）}} + \underbrace{a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots}_{\text{正则部分（泰勒部分）}}$$

当 $z_0$ 为可去奇点时，主要部分消失，洛朗级数退化为泰勒级数。

系数公式

$$a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \, dz$$

其中 $C$ 是圆环内围绕 $z_0$ 的任意正向简单闭曲线。

示例

$f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}$ 在圆环 $1<\vert z\vert <2$ 上展开：

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z} \\ &= \frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{2}} \\ &= \frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^n} - \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n} \\ &= \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n}}_{\text{负次方}} - \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}}_{\text{正次方}} \end{aligned}$$

应用

• 奇点分类：根据主要部分最低负次方判断奇点类型（极点、本性奇点）
• 留数计算：$a_{-1}$ 即为 $f$ 在 $z_0$ 的留数，用于围道积分