逆映射

逆映射回答"一个映射能否被撤销"：给定映射 $f:A\to B$，能否找到 $g:B\to A$ 把对应关系原样倒回去。它是映射理论中与双射密不可分的核心概念，也是解方程、求反函数与坐标变换的代数依据。

需先掌握映射（单射/满射/双射）与函数（数集上的映射）。

定义

设 $f:A\to B$ 为映射。若存在映射 $g:B\to A$ 满足

$$g\circ f=\mathrm{id}_A,\qquad f\circ g=\mathrm{id}_B$$

则称 $g$ 为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$，其中 $\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_B$ 分别是 $A,B$ 上的恒等映射。

性质

• 存在性：$f$ 存在逆映射当且仅当 $f$ 是双射（既单且满）
• 唯一性：逆映射若存在则唯一
• 逆映射本身是双射，且 $(f^{-1})^{-1}=f$
• 复合的逆：$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$（复合顺序反转）
• 函数情形下 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称

示例

• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ 是双射，逆映射 $f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}$
• 指数函数 $f(x)=a^x\ (a>0,a\neq1)$ 与对数函数 $g(y)=\log_a y$ 互为逆映射
• 线性映射 $T(\vec{x})=A\vec{x}$ 可逆当且仅当 $A$ 可逆（见逆矩阵），此时 $T^{-1}(\vec{y})=A^{-1}\vec{y}$

应用

• 解方程：求 $f(x)=y$ 的唯一解即计算 $x=f^{-1}(y)$
• 反函数求法：先把 $y=f(x)$ 反解出 $x$，再交换变量名，见函数
• 几何与拓扑：坐标变换、微分流形上的可逆变换与拓扑学中的同胚都以双射及其逆映射为基础