纯函数

纯函数（pure function）是函数式编程的核心概念：输出只由输入决定、且不产生可观察副作用的一类函数。它与数学中的映射一一对应——映射本就要求全域性与唯一性（相同输入必有相同输出），纯函数正是把这两条数学要求原样移植到程序设计中，是"可计算即数学对象"这一思想的具体化。

需先掌握函数（定义域、对应法则、值域）与映射（全域性、唯一性），理解"确定性对应关系"这一核心前提。

定义

称函数 $f$ 为纯函数，当且仅当它同时满足：

• 确定性（deterministic）：对相同的输入 $x$，总返回相同的输出 $f(x)$，不依赖时间、随机数或调用时的外部状态
• 无副作用（no side effects）：执行过程不修改外部状态——不改全局变量、不做输入输出（I/O）、不改变传入参数，只通过返回值与外界通信

性质

• 引用透明（referential transparency）：表达式的值不随上下文改变，可在程序中用其值原地替换而不改变程序行为，是纯函数最本质的推论
• 可缓存：由确定性，相同输入的结果可记忆化（memoization），以查表代替重复计算
• 可并行与可重排：无共享可变状态，调用顺序与并行执行互不干扰，天然适合多线程与分布式计算
• 可组合：纯函数复合后仍是纯函数，复杂程序可由小的纯函数拼装而成（管道式组合）
• 易于测试与推理：无需构造运行环境，给定输入即可断言输出，支持等式推理与形式化验证

示例

• $f(x)=x^2$ 是纯函数：相同输入恒得相同输出，无副作用
• $g(x)=x+\mathrm{random}()$ 不是纯函数：输出依赖随机数，不满足确定性
• 打印到控制台、改写全局计数器、读取当前时间的函数都不是纯函数（含副作用）
• 数学中的映射本身就是纯函数：$f:A\to B$ 对每个 $a\in A$ 唯一确定 $f(a)$（见映射的定义公理）；可逆情形即逆映射

应用

• 函数式编程：Haskell、Elm 等语言以纯函数为唯一构件，副作用用 Monad 等结构显式隔离
• 并行与大数据：MapReduce、Spark 的算子要求纯函数性质，任务可分片并行且可重放
• 缓存与记忆化：动态规划、React 的 useMemo 等依赖"确定性"保证缓存正确
• 形式化验证与程序语义：引用透明使程序可用等式推理证明正确性，也是关系代数中函数可计算性的基础