基数理论

基数理论研究"集合有多大"：偶数与整数、有理数与整数一样多吗？直觉不可靠，需要严格标准——存在双射的两个集合等势，基数就是等势类所刻画的大小。它是映射中双射概念在集合论里的直接应用，回答了无穷集合能否比较大小的问题。

需先掌握映射（单射/满射/双射）与集合；数集提供常见的无穷集合实例。

定义

设 $A,B$ 为集合。若存在双射 $f:A\to B$，则称 $A$ 与 $B$ 等势（equipotent），记作 $|A|=|B|$（或 $A\sim B$）。

• 基数（cardinal number）：等势关系下的等价类，$|A|$ 表示集合 $A$ 的基数
• 有限集的基数即元素个数；与自然数集 $\mathbb{N}$ 等势的集合称可数集，其基数记为 $\aleph_0$
• 大于可数的基数称为不可数，如实数集 $|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$（连续统的势）

性质

• 等势是等价关系：自反（恒等映射）、对称（双射的逆映射，见逆映射）、传递（双射的复合）
• 基数序：$|A|\le|B|$ 当且仅当存在单射 $A\to B$
• Cantor–Schröder–Bernstein 定理：若 $|A|\le|B|$ 且 $|B|\le|A|$，则 $|A|=|B|$，即存在双射 $A\to B$
• Cantor 定理：对任意集合 $A$，$|A|<|\mathcal{P}(A)|$，幂集的基数严格更大，故不存在"最大的集合"
• 可数性：$\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 均与 $\mathbb{N}$ 等势（$|\mathbb{Q}|=\aleph_0$）；$\mathbb{R}$ 不可数（Cantor 对角线论证）
• 连续统假设（CH）：不存在严格介于 $\aleph_0$ 与 $\mathfrak{c}$ 之间的基数；该命题独立于 ZFC（P. Cohen, 1963）
• 在通常的集合论公理下任意两个基数可比（三歧性）

示例

• $f(n)=2n$ 是 $\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}$ 的双射，故 $|\mathbb{Z}|=|2\mathbb{Z}|$——无穷集合可与真子集等势
• $f(x)=\tan(\pi x-\pi/2)$ 是 $(0,1)\to\mathbb{R}$ 的双射，故 $|(0,1)|=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$
• 可数个可数集的并仍可数，由对角线列举得 $|\mathbb{Q}|=\aleph_0$
• $|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|\mathbb{R}|=\mathfrak{c}$（用二进制小数与实数对应）

应用

• 证明等势：构造双射是证明两集合等势的基本方法，即映射双射节"在基数理论中证明集合等势"所指
• 测度论：Cantor 集与 $\mathbb{R}$ 等势但 Lebesgue 测度为零，说明基数不刻画"体积"意义下的大小
• 泛函分析：可分空间（含可数稠密子集）与可数正交基等概念依赖可数基数的思想
• 线性代数：向量空间的维数定义为基的基数，从而可谈论无穷维空间