等比数列描述相邻两项之比恒定的数列，通项为 $a_n=a_1 r^{n-1}$ 的指数型序列，其收敛性讨论见数列极限。

$$a_{n+1}=a_{1}\cdot r^{n}$$

性质

1. 公比r：等比数列中，任何一项与其前一项的比值是一个常数，称为公比。
2. 项的表达式：如果 $a$ 是首项，$r$ 是公比，则等比数列的第 $n$ 项表示为 $a_n = a \cdot r^{n-1}$。
3. 中项性质：在等比数列中，任何一项的平方等于它的前一项和后一项的乘积，即 $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$。

等比数列的前n项和

等比数列的前n项和 $S_n$ 可以根据以下公式计算：

• 当公比 $r \neq 1$ 时：$$S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$$
  其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。
• 当公比 $r = 1$ 时，所有项都等于首项 $a$，因此：$S_n = n \cdot a$

Example

$$1,2,4,8,...,2^n$$