二次函数

二次函数是最简单的非线性函数，其图象是抛物线，广泛出现于抛体运动、拱桥设计与最优化问题中；解二次方程（见二次方程求根公式）本质上就是求二次函数的零点。

需先掌握函数的三要素与二次方程求根公式（求根公式与判别式），以及对称性中关于图象对称的描述。

定义

形如

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq 0$$

的函数称为二次函数，其中 $a$ 决定开口方向与宽窄。配方后化为顶点式

$$y=a(x-h)^2+k,\qquad h=-\frac{b}{2a},\ k=\frac{4ac-b^2}{4a}$$

顶点为 $(h,k)$，对称轴为直线 $x=h$，图象关于 $x=h$ 对称（见对称性）。

性质

• 开口与形状：$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下；$|a|$ 越大开口越窄
• 顶点与最值：$a>0$ 时在 $x=h$ 处取最小值 $y_{\min}=k$；$a<0$ 时取最大值 $y_{\max}=k$
• 与 $x$ 轴交点：由判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 决定（见二次方程求根公式）：$\Delta>0$ 两个交点，$\Delta=0$ 相切，$\Delta<0$ 无交点
• 根与系数的关系（韦达定理）：两根 $x_1,x_2$ 满足

$$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca$$

示例

求 $y=x^2-4x+3$ 的顶点、对称轴与零点：

• 配方：$x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，顶点 $(2,-1)$，对称轴 $x=2$
• 零点：$(x-2)^2-1=0\Rightarrow x=1$ 或 $3$（也可由因式分解 $(x-1)(x-3)$ 读出）
• 韦达检验：$x_1+x_2=4=-\dfrac{-4}{1}$ ✓，$x_1x_2=3$ ✓

应用

• 一元二次不等式：一元二次不等式的解法由二次函数图象与 $x$ 轴的相对位置直接确定
• 最优化：利润最大化、最小成本等问题的目标函数常为二次函数
• 物理：匀变速运动位移 $s=v_0t+\frac12 at^2$、抛体轨迹都是二次函数
• 学习路径：二次函数是初等代数与微积分的衔接点——求导 $y'=2ax+b$ 给出切线斜率与极值点，二次曲线与抛物线在解析几何中继续延伸