一元二次不等式

实际问题中的约束（产量、价格、面积、速度的允许范围）常写成不等式；一元二次不等式是最常见的一类，其解集可由二次函数的图象直接读出。

需先掌握二次函数（图象、顶点与零点）与因式分解（求零点），必要时用二次方程求根公式。

定义

含一个未知数、最高次数为 $2$ 的不等式

$$ax^2+bx+c>0,\quad ax^2+bx+c\geqslant 0,\quad ax^2+bx+c<0,\quad ax^2+bx+c\leqslant 0\qquad(a\neq 0)$$

解法（数形结合）

1. 解对应方程 $ax^2+bx+c=0$（用因式分解或二次方程求根公式），得零点 $x_1\leqslant x_2$
2. 画抛物线草图，看开口方向
3. 取使函数值满足不等号的部分

$a>0$ 时的结论（$a<0$ 时两边同乘 $-1$ 化归）：

判别式	$ax^2+bx+c>0$	$ax^2+bx+c<0$
$\Delta>0$	$x<x_1$ 或 $x>x_2$	$x_1<x<x_2$
$\Delta=0$	$x\neq x_0$	无解
$\Delta<0$	全体实数	无解

示例

解 $x^2-5x+6>0$：因式分解 $(x-2)(x-3)>0$，两根为 $2,3$，开口向上，解集为 $x<2$ 或 $x>3$。

应用

• 定义域与值域：对数函数真数、根式被开方数等约束
• 实际约束：利润非负、面积与长度的允许范围
• 与二次函数、二次方程求根公式构成二次问题的完整工具链