因式分解

因式分解把一个多项式写成不可约因式的乘积，是解方程、化简分式与分析零点的基础工具：多项式在某点的取值是否为零，直接由对应因式是否为零决定。

需先掌握二项式定理（展开与合并同类项）与二次方程求根公式（二次因式的分解）。

定义

在给定数域上，把多项式 $f(x)$ 写成若干个次数更低的多项式（因式）的乘积

$$f(x)=f_1(x)f_2(x)\cdots f_k(x)$$

且每个因式在该数域上不可再分解，称为 $f(x)$ 的因式分解。数域不同分解结果可能不同：例如 $x^2-2$ 在有理数域不可分解，在实数域分解为 $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$。

方法

• 提公因式：$ab+ac=a(b+c)$
• 公式法：平方差 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$；立方和公式、立方差公式；完全平方 $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$
• 十字相乘法：对 $ax^2+bx+c$，把二次项与常数项分解后交叉相乘检验一次项系数
• 分组分解：四项及以上的多项式先分组再提公因式
• 试根与长除法：用有理根定理筛出候选根，以多项式除法检验整除并降次

示例

• $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$
• $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$
• $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$（由立方差公式）

应用

• 解方程：$f(x)=0$ 化为各因式 $=0$，与二次方程求根公式互补
• 一元二次不等式：由因式的符号变化确定解集
• 有理函数化简与积分：约分、部分分式分解