迹

迹是定义在方阵上的一个标量值，表示方阵对角线上元素的和。 对于矩阵 $A$，其迹记作 $\operatorname{tr}(A)$

定义

给定一个 $n \times n$ 矩阵 $A$，其迹 $\operatorname{tr}(A)$ 定义为矩阵 $A$ 的对角线上元素之和：

$$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$$

性质

1. 线性性： 对于任意两个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，以及标量 $c$，有：

   $$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$$

   $$\operatorname{tr}(cA) = c \operatorname{tr}(A)$$

2. 循环不变性： 对于任意 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，有：

   $$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$$

3. 不变性： 对于任意可逆矩阵 $P$ 和任意矩阵 $A$，有：

   $$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)$$

向量的迹

虽然向量本身并没有定义迹，但在某些情况下，可以将向量视为对角矩阵的一部分来讨论其迹。例如，给定一个向量 $v$ 可以表示为对角矩阵 $D$ ，其中 $D$ 的对角线元素是 $v$ 的元素。在这种情况下，向量 $v$ 的迹就是这个对角矩阵的迹。 如果 $v$ 是一个 $n$ 维向量 $v = [v_1, v_2, \ldots, v_n]$，我们可以构造一个 $n \times n$ 对角矩阵 $D$ ，其对角线元素是 $v$ 的元素：

$$D = \begin{bmatrix} v_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & v_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & v_n \end{bmatrix}$$

此时，这个对角矩阵 $D$ 的迹即为向量 $v$ 的元素之和：

$$\operatorname{tr}(D) = v_1 + v_2 + \cdots + v_n$$

即：

$$\operatorname{tr}(v) = \sum_{i=1}^n v_i$$