平稳随机过程的概念

如果随机过程的某一种性质不随下角标（时间）变化而变化，则称随机过程具有该性质的平稳性。

众多平稳性是根据相关函数来建立的，所以有必要先介绍相关函数的定义。

相关函数

相关函数是两个时刻的函数，其为两时刻随机变量的相关性，写作

$$R\left(t,s\right)=\mathrm E\left[X\left(t\right)X\left(s\right)\right]$$

务必注意相关函数不是由协方差来定义的，上式与协方差的表达式不同。

还有许多根据相关性定义出的相关函数，例如相关系数、互相关函数。我们这里研究的是 “自相关函数”，即随机过程自身在不同时刻的相关性。

宽平稳

定义 - 宽平稳

实随机过程 $X(t)$ 是宽平稳的，若二阶矩有限、均值 $E[X(t)]=\mu$ 不随时间变化，并且对所有允许的 $t,s,T$，有

$$R\left(t+T,s+T\right)=R\left(t,s\right)$$

宽平稳是相关函数具有稳定性的平稳，它是随机过程中最重要的平稳性，是研究出发的基石。根据宽平稳的定义，其暗示我们：随机过程中两个时刻随机变量的相关性只依赖于时刻的相对位置，从此衍生第二种定义

$$R\left(t,s\right)=R\left(t-s\right)=:R\left(\tau\right)$$

证明宽平稳时，必须同时检查有限二阶矩、常均值和自相关只依赖时差；只写出后一项不够。以下用 “相位调频” 为例，说明在证明中如何得到 $R\left(t-s\right)$。

假设随机过程 $X\left(t\right)=\cos\left(2\pi f_0t+\theta\right)$，其中 $\theta\sim U\left(0,2\pi\right)$。计算一阶矩

$$\mathrm E\left(X\left(t\right)\right)=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos\left(2\pi f_0t+\theta\right)\,\mathrm d\theta=0$$

计算相关函数

$$\begin{aligned}R\left(t,s\right)&=\mathrm E\left(X\left(t\right)\,X\left(s\right)\right)=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos\left(2\pi\,f_0t+\theta\right)\,\cos\left(2\pi f_0s+\theta\right)\,\mathrm d\theta \\\\ & =\dfrac1{4\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos\left(2\pi f_0\left(t+s\right)+2\theta\right)+\cos\left(2\pi f_0\left(t-s\right)\right)\,\mathrm d\theta \\\\ & = \dfrac12\cos\left(2\pi f_0\left(t-s\right)\right)=R\left(t-s\right) \end{aligned}$$

严平稳

定义 - 严平稳

随机过程 $X\left(t\right)$ 是严平稳的，如果对于任意时刻 $t_1,t_2,\dots,t_n$ 及所有时间长 $T$，以下两个随机向量服从相同联合分布

$$\begin{array}c\left[X\left(t_1\right),X\left(t_2\right),\dots,X\left(t_n\right)\right]^T\\\\\left[X\left(t_1+T\right),X\left(t_2+T\right),\dots,X\left(t_n+T\right)\right]^T\end{array}$$

离散时间的独立同分布序列是严平稳的；若还有有限二阶矩，则也是宽平稳的。一般严平稳加有限二阶矩推出宽平稳，反之不成立；高斯过程的有限维分布由均值和协方差确定，因此高斯情形宽平稳也推出严平稳。

循环平稳

定义 - 循环平稳

二阶循环平稳要求二阶矩有限，且存在同一个固定周期 $T_0>0$，对所有允许的 $t,s$，有 $\mu(t+T_0)=\mu(t)$ 及

$$R\left(t+T_0,s+T_0\right)=R\left(t,s\right)$$

宽平稳的自相关可以随时差振荡，例如上面的余弦函数；不变的是同时平移两个时刻后的值。二阶循环平稳只要求按固定周期平移不变。某些周期信号加入独立均匀随机初相位后可变为宽平稳过程，上面的随机相位余弦就是例子；不能笼统认为加入某个随机变量就一定平稳化。

增量平稳

定义 - 增量平稳

增量平稳指平移时间原点不改变增量过程的有限维联合分布；特别地，对 $t\ge s$，单个增量的分布只取决于 $t-s$，可简记为

$$X\left(t\right)-X\left(s\right)\sim F\left(t-s\right)$$

常见的增量平稳过程有布朗运动

$$B\left(t\right)-B\left(s\right)\sim \mathrm{N}\left(0,t-s\right)$$

和泊松过程

$$N\left(t\right)-N\left(s\right)\sim\mathrm{Poisson}\left(\lambda\left(t-s\right)\right)$$

易混条件的反例

离散确定性过程 $X_n=(-1)^n$ 的 $R(n,m)=(-1)^{n-m}$ 只依赖时差，但均值 $(-1)^n$ 随时间变化，因此不宽平稳。宽平稳定义不能漏掉常均值。

布朗运动和泊松过程具有平稳增量，但本身不宽平稳：前者方差为 $t$，后者均值、方差均为 $\lambda t$。平稳也不自动保证单条轨道的时间平均等于总体均值，见遍历性。