遍历性

遍历性涉及时间平均与统计平均（集合平均）的对应，必须说明所研究的统计量及收敛方式，不能只由平稳性推出。

定义

以下假设所写时间积分存在。设 $\{X(t)\}$ 为平稳过程，其统计平均为 $E[X(t)] = \mu$。定义时间平均

$$\langle X \rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t) \, dt$$

若 $\langle X \rangle$ 以概率 1 存在且等于 $\mu$，则称过程具有均值遍历性（各态历经性）。

类似地可定义相关函数遍历性、分布遍历性等。

判定条件（均值遍历）

下面是均方意义的均值遍历判据，与上面以概率 1 收敛的定义应区分。对实宽平稳过程，令 $\bar X_T=T^{-1}\int_0^T X(t)\,dt$，$C(\tau)=R_X(\tau)-\mu^2$，则由二重积分计算方差有

$$E|\bar X_T-\mu|^2=\frac{2}{T}\int_0^T(1-\tau/T)C(\tau)\,d\tau.$$

因此 $\bar X_T\to\mu$ 在均方意义下成立的充要条件为：

$$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left(1 - \frac{\tau}{T}\right) \left( R_X(\tau) - \mu^2 \right) d\tau = 0$$

均方收敛的一个充分条件：$R_X(\tau) - \mu^2$ 在 $\tau \to \infty$ 时趋于 0（即自协方差趋零）。该结论直接给出均方和依概率收敛；没有额外论证时不能改称几乎必然收敛。。

物理意义

• 各态历经：过程长时间运行中经历的所有状态，其时间占比等于该状态在集合中的概率。
• 工程中常假设平稳随机过程是遍历的，从而用单条样本轨道的时间平均估计统计特征（如功率谱密度、相关函数）。
• $\langle X \rangle = \mu$ 使观测数据的统计推断成为可能。

与相关概念的区别

• 平稳性是"统计性质不随时间平移"；遍历性是"时间平均与集合平均相等"，后者更强，平稳不一定遍历。
• 遍历理论（遍历论）是动力系统中研究轨道长期统计行为的分支，与此处随机过程视角一致。

平稳而不遍历

令 $X(t)=Z$ 对所有 $t$，其中 $P(Z=1)=P(Z=-1)=1/2$。该过程严平稳且宽平稳，$\mu=0$，$C(\tau)=1$；但每条轨道的时间平均一直为 $Z$，并不趋于 $0$，均方误差恒为 $1$。这说明用单条轨道估计总体平均前，必须检查遍历条件。

前面使用 $[-T,T]$ 的时间平均定义与判据中的 $[0,T]$ 窗口长度不同。对宽平稳过程，窗口平移不改变时间平均的均方误差，长度都趋于无穷时上述均方判据等价；这个说明不把两种收敛模式混为一谈。