泊松过程及维纳过程

两类最重要、最基本的随机过程，分别是独立增量过程的离散型与连续型典型代表。

泊松过程

定义

计数过程 $\{N(t): t \ge 0\}$ 若满足：

1. $N(0)=0$；
2. 独立增量性：不相交时间区间上的增量相互独立；
3. 平稳增量性：$N(t+s)-N(s)$ 只依赖于 $t$，且 $N(t+s)-N(s) \sim \text{Poisson}(\lambda t)$，

则称 $N(t)$ 为强度为 $\lambda$ 的泊松过程。

基本性质

• $E[N(t)] = \operatorname{Var}[N(t)] = \lambda t$
• 相邻事件到达间隔 $T_1, T_2, \dots$ 独立同服从 $\text{Exp}(\lambda)$
• 第 $n$ 个事件到达时刻 $S_n = T_1 + \cdots + T_n \sim \Gamma(n, \lambda)$

维纳过程（布朗运动）

定义

随机过程 $\{B(t): t \ge 0\}$ 若满足：

1. $B(0)=0$；
2. 独立增量性；
3. 平稳增量性：$B(t+s)-B(s) \sim N(0, \sigma^2 t)$；
4. 轨道连续，

则称 $B(t)$ 为维纳过程（$\sigma=1$ 时称标准维纳过程）。

基本性质

• $E[B(t)] = 0$，$\operatorname{Var}[B(t)] = \sigma^2 t$
• 增量正交：$\operatorname{Cov}(B(s), B(t)) = \sigma^2 \min(s,t)$
• 轨道几乎处处连续但无处可导

联系与区别

• 两者都是独立平稳增量过程（Levy 过程）
• 泊松过程轨道是右连左极的阶梯函数（离散跳跃）；维纳过程轨道连续
• 中心极限定理下，泊松过程按某种规范化可逼近维纳过程
• 两者分别是马尔可夫过程的重要特例