跳至主要內容

平稳随机过程的功率谱密度

PaulSunGPT-6数学

以下先讨论实、有限二阶矩且均方连续的过程，并假设有限时间的积分存在。考虑宽平稳随机过程 X(t)X\left(t\right) 的 Fourier 展开

X(t)=12π∑k=−∞+∞(∫−T/2T/2X(s)exp⁡{−jωks} ds)exp⁡{jωkt}⋅2πTX\left(t\right)=\dfrac1{2\pi}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\left(\int^{T/2}_{-T/2}X\left(s\right)\exp\left\{-j\omega_ks\right\}\,\mathrm ds\right)\exp\left\{j\omega_kt\right\}\cdot\dfrac{2\pi}{T}

其中根据 Fourier 展开的要求，T→∞T\to\infty，但问题出现：

∫−∞+∞∣X(t)∣ dt<∞\int^{+\infty}_{-\infty}\left|X\left(t\right)\right|\,\mathrm dt<\infty

未必成立，因此不能保证整条轨道有通常的绝对可积 Fourier 变换；绝对可积只是一个充分条件，不是所有 Fourier 展开存在的必要条件。可改用有限窗的平均功率，再讨论谱测度或广义函数。

功率谱密度函数的获得

为了避开如上所述的问题， Wiener 和 Khinchine 把将问题改为计算

SX(ω)=lim⁡T→∞1T E ∣∫−T/2T/2X(t)exp⁡{−jωt} dt∣2S_X\left(\omega\right)=\lim_{T\to\infty}\dfrac1T\,\mathrm E\,\left|\int^{T/2}_{-T/2}X\left(t\right)\exp\left\{-j\omega t\right\}\,\mathrm dt\right|^2

若自相关 RX∈L1(R)R_X\in L^1(\mathbb R)，下列最后一步可由控制收敛定理保证；没有这个或其他足够条件时，不能把极限直接移入无穷积分。计算过程如下

  1T E(∫−T/2T/2X(t)exp⁡{−jωt} dt)(∫−T/2T/2X(s)exp⁡{−jωs} ds)‾=  1T∫−T/2T/2∫−T/2T/2E(X(t) X(s)‾)exp⁡{−jω(t−s)} dtds=  1T∬RX(u)exp⁡{−jωu} 12 dudv=  1T(∫−T0∫−u−Tu+T+∫0T∫u−T−u+T) RX(u)exp⁡{−jωu} 12 dvdu=  1T∫−TT∫∣u∣−T−∣u∣+TRX(u)exp⁡{−jωu} 12dvdu=  1T∫−TT(T−∣u∣) RX(u)exp⁡{−jωu} du=  ∫−TT(1−∣u∣T) RX(u)exp⁡{−jωu} du=  ∫−∞+∞RX(u)exp⁡{−jωu} du  (T→∞)\begin{aligned}&\;\dfrac1T\,\mathrm E\left(\int^{T/2}_{-T/2}X\left(t\right)\exp\left\{-j\omega t\right\}\,\mathrm dt\right)\overline{\left(\int^{T/2}_{-T/2}X\left(s\right)\exp\left\{-j\omega s\right\}\,\mathrm ds\right)} \\\\ = & \;\dfrac1T\int^{T/2}_{-T/2}\int^{T/2}_{-T/2}\mathrm E\left(X\left(t\right)\,\overline{X\left(s\right)}\right)\exp\left\{-j\omega\left(t-s\right)\right\}\,\mathrm dt\mathrm ds \\\\ = & \;\dfrac1T\iint R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\,\mathrm du\mathrm dv \\\\ = & \;\dfrac1T\left(\int^0_{-T}\int^{u+T}_{-u-T}+\int^T_0\int^{-u+T}_{u-T}\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\,\mathrm dv\mathrm du \\\\ = & \;\dfrac1T\int^T_{-T}\int^{-\left|u\right|+T}_{\left|u\right|-T}R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\mathrm dv\mathrm du \\\\ = & \;\dfrac1T\int^T_{-T}\left(T-\left|u\right|\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \\\\ = & \;\int^T_{-T}\left(1-\dfrac{\left|u\right|}T\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \\\\ = & \;\int^{+\infty}_{-\infty} R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \ \ \left(T\to\infty\right) \end{aligned}

虽然我们不能找到随机过程的 Fourier 变换，但最后结果暗示找到了随机过程的相关函数的 Fourier 变换，即前文定义的新函数 SX(ω)S_X\left(\omega\right)

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ)exp⁡{−jωτ} dτRX(τ)=12π∫−∞+∞SX(ω)exp⁡{−jωτ} dω(1)\begin{aligned} & S_X\left(\omega\right)=\int^{+\infty}_{-\infty} R_X\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & R_X\left(\tau\right)=\dfrac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} S_X\left(\omega\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\omega \end{aligned}\tag1

在这些条件下，SX(ω)S_X(\omega) 为通常的功率谱密度，满足 SX≥0S_X\ge0，未必处处严格正。Bochner 定理的准确对象是：连续正定函数对应有限非负测度的 Fourier 变换；测度未必有普通密度，不能把所有谱都写成常规函数。这里“正定函数”指任意有限取样形成的矩阵半正定，见相关函数。

Wiener-Khinchine 定理

当宽平稳过程的自相关绝对可积时，其普通功率谱密度是自相关的 Fourier 变换；更一般地，自相关连续时应使用非负谱测度来表示。

性质

性质 1

从 (1) 可知

∫−∞+∞SX(ω) dω=2πRX(0)=2πE(X2(t))\int^{+\infty}_{-\infty} S_X\left(\omega\right)\,\mathrm d\omega =2\pi R_X\left(0\right)=2\pi\mathrm E\left(X^2\left(t\right)\right)

性质 2

考察功率谱密度函数是否具有线性性。假设 α∈R\alpha\in\mathbb R

SαX(ω)=∫−∞+∞RαX(τ)exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞E(αX(t)⋅αX(s))exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞∣α∣2 E(X(t)⋅X(s))exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞∣α∣2 RX(τ)exp⁡{−jωτ} dτ=∣α∣2 SX(ω)\begin{aligned} S_{\alpha X}\left(\omega\right) & = \int^{+\infty}_{-\infty} R_{\alpha X}\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \mathrm E\left(\alpha X\left(t\right)\cdot\alpha X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \left|\alpha\right|^2\,\mathrm E\left(X\left(t\right)\cdot X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \left|\alpha\right|^2\,R_{X}\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \left|\alpha\right|^2\,S_X\left(\omega\right) \end{aligned}

结果不满足 SαX(ω)=αSX(ω)S_{\alpha X}\left(\omega\right)=\alpha S_X\left(\omega\right)，所以功率谱密度没有线性性。

性质 3

对功率谱密度的 Fourier 变换表达式使用欧拉公式

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ) cos⁡(−ωτ) dτ+j∫−∞+∞RX(τ) sin⁡(−ωτ) dτ=∫−∞+∞RX(τ) cos⁡(ωτ) dτ+0=SX(−ω)\begin{aligned}S_X\left(\omega\right) & =\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\cos\left(-\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau+j\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\sin\left(-\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau\\\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\cos\left(\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau+0=S_X\left(-\omega\right)\end{aligned}

由于本节假设过程为实值，自相关为实偶函数，功率谱密度也是偶函数；复值过程的谱虽非负实值，却未必是偶函数。并且在该推导基础上，相关函数的 Fourier 变换表达式简化为

RX(τ)=12π∫−∞+∞SX(ω) cos⁡(ωτ) dωR_X\left(\tau\right)=\dfrac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}S_X\left(\omega\right)\,\cos\left(\omega\tau\right)\,\mathrm d\omega

线谱不能被普通密度排除

采用角频率约定，更一般的表示为

RX(τ)=∫Rejωτ dFX(ω),dFX(ω)=SX(ω)2π dωR_X(\tau)=\int_{\mathbb R}e^{j\omega\tau}\,dF_X(\omega),\qquad dF_X(\omega)=\frac{S_X(\omega)}{2\pi}\,d\omega

（第二式仅在谱测度有密度时适用）。总质量为 FX(R)=RX(0)F_X(\mathbb R)=R_X(0)。

对随机相位余弦 X(t)=cos⁡(ω0t+Θ)X(t)=\cos(\omega_0t+\Theta)，Θ\Theta 均匀分布，ω0>0\omega_0>0，有 RX(τ)=12cos⁡(ω0τ)R_X(\tau)=\frac12\cos(\omega_0\tau)，不绝对可积。谱测度在 ±ω0\pm\omega_0 各有质量 1/41/4；若使用 Dirac 广义函数，可写成

SX(ω)=π2[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)].S_X(\omega)=\frac\pi2[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)].

积分总功率为 12π∫SX=1/2=E[X(t)2]\frac1{2\pi}\int S_X=1/2=E[X(t)^2]，与时域一致。非零均值 μ\mu 还在自相关谱中贡献 2πμ2δ(ω)2\pi\mu^2\delta(\omega)；去均值后研究的是自协方差谱。

链接到当前文件 3