遍历性

平稳随机过程的一个重要性质：时间平均等于统计平均（集合平均）。

定义

设 $\{X(t)\}$ 为平稳过程，其统计平均为 $E[X(t)] = \mu$。定义时间平均

$$\langle X \rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t) \, dt$$

若 $\langle X \rangle$ 以概率 1 存在且等于 $\mu$，则称过程具有均值遍历性（各态历经性）。

类似地可定义相关函数遍历性、分布遍历性等。

判定条件（均值遍历）

平稳过程具有均值遍历性的充要条件：

$$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left(1 - \frac{\tau}{T}\right) \left( R_X(\tau) - \mu^2 \right) d\tau = 0$$

充分条件：$R_X(\tau) - \mu^2$ 在 $\tau \to \infty$ 时趋于 0（即相关函数在无穷远处与均值平方分离）。

物理意义

• 各态历经：过程长时间运行中经历的所有状态，其时间占比等于该状态在集合中的概率。
• 工程中常假设平稳随机过程是遍历的，从而用单条样本轨道的时间平均估计统计特征（如功率谱密度、相关函数）。
• $\langle X \rangle = \mu$ 使观测数据的统计推断成为可能。

与相关概念的区别

• 平稳性是"统计性质不随时间平移"；遍历性是"时间平均与集合平均相等"，后者更强，平稳不一定遍历。
• 遍历理论（遍历论）是动力系统中研究轨道长期统计行为的分支，与此处随机过程视角一致。