偏度

偏度

偏度 $\gamma_1$ 是衡量概率分布不对称性方向与程度的数字特征，定义为三阶标准中心矩：

$$\gamma_1 = E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right] = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

其中假设 $E|X|^3<\infty$、$\sigma>0$，$\mu_3 = E[(X-\mu)^3]$ 是三阶中心矩。$\gamma_1>0$ 为右偏，$\gamma_1<0$ 为左偏，$\gamma_1\approx 0$ 表示三阶标准中心矩接近零；偏度为 0 并不保证分布对称。“右偏时均值大于中位数大于众数”只是常见单峰分布中的经验现象，不是普适定理。

令 $m_k=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^k$。在 $m_2>0$ 时，样本偏度为 $g_1=m_3/m_2^{3/2}$；当 $n>2$ 时，调整后的 Fisher-Pearson 系数为

$$G_1=\frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\bar x}{s}\right)^3,$$

其中 $s^2=\sum_i(x_i-\bar x)^2/(n-1)$。不能把 $g_1$ 中的 $m_2$ 换成 $s^2$ 后仍沿用同一个修正系数。样本 $(1,2,2,5)$ 给出 $g_1=8/9\approx0.88889$、$G_1=8\sqrt3/9\approx1.53960$。定义可与 SciPy 的两种偏度选项 对照；调整不意味着对所有分布都无偏。

偏度是分布的三阶矩，与期望（位置）、方差（尺度）共同刻画分布形态（四阶矩对应峰度），常用于金融收益率的负偏判断与正态性检验。

使用限制

• 偏度含三次方项，对极端值非常敏感；报告结果时应同时查看异常值和分布图形。
• 小样本偏度估计波动较大，即使使用修正系数也不能消除这种不稳定性。
• 偏度只描述不对称性的一个方面；不同形状的分布可以有相同偏度，偏度为零也不保证分布对称。
• 数据严重偏态时，依赖近似正态性的分析可能不可靠，应根据任务考虑数据变换、稳健方法或非参数方法。