偏度

偏度

偏度 $\gamma_1$ 是衡量概率分布不对称性方向与程度的数字特征，定义为三阶标准中心矩：

$$\gamma_1 = E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right] = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

其中 $\mu_3 = E[(X-\mu)^3]$ 是三阶中心矩。$\gamma_1>0$ 为右偏，$\gamma_1<0$ 为左偏，$\gamma_1\approx 0$ 表示三阶标准中心矩接近零；偏度为 0 并不保证分布对称。“右偏时均值大于中位数大于众数”只是常见单峰分布中的经验现象，不是普适定理。

样本偏度的常用估计为 $g_1 = \dfrac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^3}{s^3}$；当 $n>2$ 时，小样本修正（Fisher-Pearson 系数）为 $G_1 = \dfrac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}\,g_1$。偏度是分布的三阶矩，与期望（位置）、方差（尺度）共同刻画分布形态（四阶矩对应峰度），常用于金融收益率的负偏判断与正态性检验。

使用限制

• 偏度含三次方项，对极端值非常敏感；报告结果时应同时查看异常值和分布图形。
• 小样本偏度估计波动较大，即使使用修正系数也不能消除这种不稳定性。
• 偏度只描述不对称性的一个方面；不同形状的分布可以有相同偏度，偏度为零也不保证分布对称。
• 数据严重偏态时，依赖近似正态性的分析可能不可靠，应根据任务考虑数据变换、稳健方法或非参数方法。