有限域

有限域是元素个数有限的域，其结构完全由元素个数决定，是模 $p$ 算术的自然推广。

定义与存在唯一性

元素个数 $q$ 的有限域记作 $\mathbb{F}_q$（或 $\mathrm{GF}(q)$）。有限域存在当且仅当 $q=p^n$（$p$ 素数，$n\ge1$），且在同构意义下唯一。$\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$；$\mathbb{F}_{p^n}$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上某个 $n$ 次不可约多项式的分裂域。

性质

• 乘法群 $\mathbb{F}_q^\times$ 是 $q-1$ 阶循环群（由此得到模 $p$ 存在原根）
• 费马小定理的推广：对一切 $a\in\mathbb{F}_q$ 有 $a^q=a$；对 $a\ne0$ 有 $a^{q-1}=1$
• 自同构群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，由 Frobenius 映射 $x\mapsto x^p$ 生成
• $\mathbb{F}_{p^m}\subseteq\mathbb{F}_{p^n}$ 当且仅当 $m\mid n$

示例

• $\mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1)$：$x^2+x+1$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上无根故不可约；记 $\omega^2=\omega+1$，则 $\mathbb{F}_4=\{0,1,\omega,\omega+1\}$，乘法群 $\{1,\omega,\omega+1\}$ 是 $3$ 阶循环群
• 椭圆曲线在 $\mathbb{F}_p$ 上的点数 $a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ 决定 L 函数局部因子（见椭圆曲线）