调和分析

研究函数如何分解为基本谐波（频率分量）叠加的分析学分支。在实分析中，调和分析运用测度与积分理论处理傅里叶变换、算子和函数空间的深层性质。

核心内容

• 傅里叶级数与傅里叶变换：将周期/非周期函数表示为频率分量，见傅里叶级数与傅里叶变换
• $L^p$ 空间上的调和分析：傅里叶变换作为算子在有界性与插值（Hausdorff-Young 不等式）
• 极大函数与 Lebesgue 微分定理：Hardy-Littlewood 极大算子，控制积分收敛的工具
• 奇异积分算子：Hilbert 变换、Riesz 变换，$L^p$ 有界性
• 测度工具：调和分析依赖测度论（Radon 测度、卷积、谱测度），与实分析的测度框架天然结合

在实分析中的角色

• 实分析提供测度与积分基础（Lebesgue 积分、$L^p$ 空间），是调和分析的严格框架
• 调和分析为 PDE（如热方程）、遍历论、数论提供傅里叶方法
• 现代调和分析扩展到非交换群与表示论（抽象调和分析）