热方程

描述热量在介质中随时间与空间分布的抛物型偏微分方程。

定义

$$u_t = \alpha \nabla^2 u$$

其中 $u(x,t)$ 为温度，$\alpha = \frac{\kappa}{c\rho}$ 为热扩散系数（$\kappa$ 热导率，$c$ 比热容，$\rho$ 密度）。

定解条件

• 初值条件：$u(x,0) = \varphi(x)$
• 边界条件：
  • 第一类（Dirichlet）：$u\big|_{\partial\Omega} = g$
  • 第二类（Neumann）：$\frac{\partial u}{\partial n}\big|_{\partial\Omega} = g$（给定热流）
  • 第三类（Robin）：$u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = g$

求解方法

• 一维初值问题：Poisson 核（基本解）卷积

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\alpha t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-y)^2}{4\alpha t}} \varphi(y) \, dy$$

• 有界区域：分离变量法 + 傅里叶级数
• 无界区域：傅里叶变换法

基本性质

• 抛物型：无限传播速度（理论上扰动瞬间传遍全空间）
• 极值原理：解的最大/最小值出现在初始时刻或边界上 → 解的有界性与唯一性
• 解的光滑性：初值只要可积，$t>0$ 时解即无穷次可微