奇点

奇点是指函数不解析的点。若 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的任何邻域内都不解析，则称 $z_0$ 是 $f(z)$ 的奇点。

分类

孤立奇点

若存在以 $z_0$ 为中心的去心邻域，使 $f(z)$ 在该邻域内解析，则称 $z_0$ 为孤立奇点。孤立奇点依洛朗级数主要部分又分为三类：

1. 可去奇点：$\lim_{z\to z_0} f(z)$ 存在且有限，重新定义 $f(z_0)$ 可消除奇点。例：$f(z)=\dfrac{\sin z}{z}$ 在 $z=0$。
2. 极点：$\lim_{z\to z_0} f(z)=\infty$。例：$f(z)=\dfrac{1}{z}$ 在 $z=0$。
3. 本性奇点：$\lim_{z\to z_0} f(z)$ 不存在（也不为无穷）。由卡西乌斯-魏尔施特拉斯定理，函数在本性奇点的任意邻域内可无限接近任何复数。例：$f(z)=e^{1/z}$ 在 $z=0$。

非孤立奇点

若 $z_0$ 的任何邻域内都含有 $f(z)$ 的其他奇点，则称 $z_0$ 为非孤立奇点。例：$f(z)=\dfrac{1}{\sin(1/z)}$ 在 $z=0$，因 $\sin(1/z)=0$ 有无穷多解趋近于 0。

奇点与洛朗级数

奇点类型可由洛朗级数主要部分（负次方项）判定：

奇点类型	主要部分
可去奇点	无负次方项
$m$ 阶极点	有限项，最低次为 $-m$
本性奇点	无穷多项

计算

处理奇点的核心手段是利用复指数的周期性 $e^{2k\pi i}=1$：在求解奇点的方程中"凭空"乘入这个等于 $1$ 的复指数项（等价于给幅角加上 $2k\pi$ 的整数倍），开根号后得到全部复根，再按主值约束 $0\le \arg z<2\pi$ 取出有限个解。

极点的计算方法
极点计算示例