半范数

许多自然空间（如 $C^\infty(\mathbb{R})$ 上需要同时控制一切导数）无法用一个范数度量，却能被一族"放松的正定性"控制。把范数公理中的正定性放宽为"允许取零"就得到半范数，它是Fréchet空间与局部凸空间的构造基础。

半范数

映射 $p:V\to\mathbb{R}_{\ge 0}$ 若满足齐次性 $p(\alpha x)=|\alpha|p(x)$ 与三角不等式 $p(x+y)\le p(x)+p(y)$，则称为半范数；与范数的区别在于允许 $p(x)=0$ 对 $x\ne 0$ 成立。$p$ 的零空间 $\ker p=\{x:p(x)=0\}$ 是 $V$ 的子空间。

性质

• 一族半范数 $\{p_\alpha\}$ 生成 $V$ 上的局部凸拓扑
• 商空间 $V/\ker p$ 上 $p$ 成为真正的范数
• 分离性：若 $p_\alpha(x)=0\ \forall\alpha$ 蕴含 $x=0$，则所得拓扑是 Hausdorff 的

例子

• $C^k[a,b]$ 上 $p_j(f)=\max_{t\in[a,b]}|f^{(j)}(t)|$（$j=0,1,\dots,k$）
• Sobolev 范数的雏形：$\|u\|_{H^m}=\left(\sum_{|\alpha|\le m}\|D^\alpha u\|_{L^2}^2\right)^{1/2}$

后续

可数族半范数加上完备性给出Fréchet空间；一般的半范数族给出局部凸空间，覆盖分布理论等应用。