平移变换

平移变换把空间中每一点沿同一向量 $\vec{t}$ 移动，是欧氏变换（刚体运动）中的"位移"成分，也是最简单的连续对称性——平移群。它解决"如何用代数表示'整体移动'而不改变形状与朝向"的问题。

需先掌握线性空间（向量加法）与旋转变换（刚体运动的旋转成分）。

定义

对固定平移向量 $\vec{t}\in\mathbb{R}^n$，平移变换为

$$T_{\vec{t}}(\vec{x})=\vec{x}+\vec{t},\qquad \vec{x}\in\mathbb{R}^n$$

用齐次坐标可写成矩阵形式

$$\begin{pmatrix}I_n&\vec{t}\\\vec{0}^T&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\vec{x}+\vec{t}\\1\end{pmatrix}$$

性质

• 仿射而非线性：$\vec{t}\neq\vec{0}$ 时 $T_{\vec{t}}(\vec{0})=\vec{t}\neq\vec{0}$，不满足线性性，故平移是仿射变换（仿射变换=线性变换+平移）
• 保距保向：$\lVert T_{\vec{t}}(\vec{x})-T_{\vec{t}}(\vec{y})\rVert=\lVert\vec{x}-\vec{y}\rVert$，属于刚体运动
• 群结构：$T_{\vec{t}_1}\circ T_{\vec{t}_2}=T_{\vec{t}_1+\vec{t}_2}$，$T_{\vec{t}}^{-1}=T_{-\vec{t}}$，$T_{\vec{0}}=\mathrm{id}$；全体平移构成阿贝尔群，与 $(\mathbb{R}^n,+)$ 同构，称平移群
• 李群结构：平移群 $(\mathbb{R}^n,+)$ 是 $n$ 维阿贝尔李群，其李代数即 $\mathbb{R}^n$ 自身（李括号平凡 $[\vec{u},\vec{v}]=0$），指数映射为恒等映射
• 与旋转复合：一般欧氏变换为 $T(\vec{x})=R\vec{x}+\vec{t}$；特殊欧式群 $SE(n)=SO(n)\ltimes\mathbb{R}^n$，平移部分自由度为 $n$（三维时 3）

应用

• 机器人学与 SLAM：刚体位姿由旋转与平移组成，见欧氏变换；平移量即位置 $\vec{t}$（对应 $\mathfrak{se}(3)$ 中的 $\vec{\rho}$）
• 物理学：空间平移对称性对应动量守恒（Noether 定理），是平移群作为对称群的标准应用
• 晶体学：晶体的空间群由点群与平移对称（格矢平移）复合而成
• 计算机图形学：用齐次坐标矩阵统一表示旋转与平移