欧氏变换

欧式变换(刚体变换), 属于特殊欧氏群 $SE(3)$（Special Euclidean Group）及其对应的李代数 $\mathfrak{se}(3)$。

• 旋转变换
• 平移变换

组成部分	几何含义	李群形式	对应李代数	自由度 (DoF)
旋转变换	空间定向	$SO(3) = \{R \in \mathbb{R}^{3\times 3} \mid R R^T = I, \det(R)=1\}$	$\mathfrak{so}(3) = \{ \boldsymbol{\phi}^\wedge \in \mathbb{R}^{3\times 3} \mid \boldsymbol{\phi}^\wedge = -(\boldsymbol{\phi}^\wedge)^T \}$	3
平移变换	空间位移	$(\mathbb{R}^3, +)$	$\mathbb{R}^3$（平移李代数即其自身向量空间）	3
整体（欧氏变换）	刚体位姿	$SE(3) = \left\{ T = \begin{pmatrix} R & \boldsymbol{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} \,\middle\vert{}\, R \in SO(3), \boldsymbol{t} \in \mathbb{R}^3 \right\}$	$\mathfrak{se}(3) = \left\{ \boldsymbol{\xi}^\wedge = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\phi}^\wedge & \boldsymbol{\rho} \\ \mathbf{0}^T & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} \,\middle\vert{}\, \boldsymbol{\phi}, \boldsymbol{\rho} \in \mathbb{R}^3 \right\}$	6

应用

在机器人学、计算机视觉（如 SLAM）以及三维图形学中：

• 几何定位：描述三维刚体在欧几里得空间中的保距与保角变换（仅包含旋转和平移，无缩放或形变）。
• 群论定位：是一个 6 维非紧致（Non-compact）、非阿贝尔（Non-abelian）光滑流形，由旋转群与平移向量通过半直积（Semidirect Product）构成：$$SE(3) = SO(3) \ltimes \mathbb{R}^3$$
• 工程/计算定位：
  • 李群 $SE(3)$ 提供无奇点、统一的矩阵表示来做空间坐标变换与位姿复合。
  • 李代数 $\mathfrak{se}(3)$ 将具有非线性约束的流形变换局部线性化为 6 维无约束向量空间 $\mathbb{R}^6$，为基于梯度的状态估计、位姿优化（如 Bundle Adjustment、因子图优化）提供导数计算工具（扰动模型）。