椭圆曲线

椭圆曲线是带群结构的代数曲线，其有理点构成有限生成群，其 L 函数连接模形式与费马大定理。

定义

椭圆曲线是亏格 $1$ 的完备光滑代数曲线，通常写成魏尔斯特拉斯形式

$$y^2 = x^3 + ax + b, \qquad \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \ne 0$$

$\Delta$ 为判别式，$\Delta \ne 0$ 保证曲线光滑（无尖点、无自交点）。

群结构

• 弦切法：过 $E$ 上两点 $P, Q$ 的直线与 $E$ 交于第三点 $R$，定义 $P+Q$ 为 $R$ 关于 $x$ 轴的对称点；无穷远点 $O$ 为单位元
• $E(\mathbb{Q})$（有理点全体）在上述运算下构成交换群；莫德尔定理：$E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \times E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$，即有限生成

L函数与模性

• 局部因子 $L_p(E,s) = \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}\right)^{-1}$，其中 $a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)$（坏素数处另有修正），整体 $L(E,s) = \displaystyle\prod_p L_p(E,s)$
• 谷山-志村定理（怀尔斯等，1994—2001）：每个有理椭圆曲线都是模的，对应一个权重 $2$ 的模形式；由此推出费马大定理 $x^n + y^n = z^n\ (n \ge 3)$ 无非平凡整数解

示例

• $y^2 = x^3 + 1$：判别式 $\Delta = -16 \cdot 27 = -432 \ne 0$；$(2,3)$、$(0,\pm 1)$、$(-1,0)$ 均在曲线上（$2^3+1 = 9 = 3^2$）
• $y^2 = x^3 - x$：判别式 $\Delta = -16(4(-1)^3 + 0) = 64 \ne 0$；$(0,0)$、$(1,0)$、$(-1,0)$ 为二阶挠点（$y=0$ 处 $P = -P$）