目录

初等数论

• 整数的基本性质
  • 整除性与最大公因数
  • 欧几里得算法
  • 同余与模运算
• 素数
  • 素数分布与质数定理
  • 素性测试
  • 素数生成
• 数论函数
  • 除数函数与σ函数
  • 欧拉函数
  • Möbius函数与莫比乌斯反演公式
• 同余方程
  • 一次同余方程
  • 中国剩余定理
  • 二次剩余与平方同余

代数数论

• 代数整数环
  • 整数环与分圆多项式
  • 唯一分解性质与理想的引入
• 理想与类群
  • 理想分解
  • 整环中的类数
• p进数理论
  • p进数的定义
  • p进数的运算与应用
• 代数数域
  • 数域的扩张与伽罗瓦理论
  • 整数环中的分解规律

解析数论

• 素数分布
  • 质数定理
  • 黎曼ζ函数与狄利克雷L函数
• 数论函数的平均行为
  • 黎曼ζ函数的零点与分布
  • 累积和与Dirichlet卷积
• 模形式与椭圆曲线
  • 模形式的定义与性质
  • L函数在数论中的应用

几何数论

• 格与拉格朗日四平方定理
• Minkowski定理与格的覆盖
• 数论中的几何方法
  • 有理点与代数曲线
  • 椭圆曲线的数论性质

算术数论

• 有理点与丢番图方程
  • Pell方程
  • Fermat最后定理
• 同余方程的高次推广
• 模p上的算术问题

现代数论方向

• 计算数论
  • 快速幂与模运算算法
  • 素性测试算法（如AKS）
• 加密学中的数论
  • RSA与椭圆曲线密码学
  • 素因数分解算法与离散对数问题
• 自守形式与Langlands纲领
  • 模形式的高阶推广
  • Langlands纲领的概述