模形式

模形式是上半平面上具有高度对称性的全纯函数，其傅里叶系数编码深层的数论信息。

定义

设 $\mathbb{H} = \{\tau \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}\tau > 0\}$，模群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 通过 $\tau \mapsto \dfrac{a\tau+b}{c\tau+d}$ 作用。全纯函数 $f: \mathbb{H} \to \mathbb{C}$ 是权重 $k$ 的模形式，若对所有 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 有

$$f\!\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau)$$

且 $f$ 在 $\tau \to \mathrm{i}\infty$ 处有界；若极限为 $0$，则称 $f$ 为尖点形式。

性质

• 权重为偶数时才有非零模形式；$k \ge 4$ 时艾森斯坦级数 $G_k(\tau) = \displaystyle\sum_{(m,n)\ne(0,0)} \frac{1}{(m\tau+n)^k}$ 是权重 $k$ 的模形式
• 空间 $M_k$ 有限维：$\dim M_k = \begin{cases} \lfloor k/12 \rfloor & k \equiv 2 \pmod{12} \\ \lfloor k/12 \rfloor + 1 & k \not\equiv 2 \pmod{12} \end{cases}$（$k \ge 0$ 为偶数）
• $E_4$ 与 $E_6$ 生成全部模形式环；$\Delta = \dfrac{E_4^3 - E_6^2}{1728}$ 是权重 $12$ 的尖点形式，其傅里叶系数即拉马努金 $\tau$ 函数
• 傅里叶展开 $f(\tau) = \displaystyle\sum_{n\ge 0} a_n q^n$（$q = e^{2\pi\mathrm{i}\tau}$）；模性约束系数 $a_n$ 的成长性与同余性质

与L函数的联系

模形式可构造 L 函数 $\displaystyle\sum a_n n^{-s}$，模性保证其解析延拓与函数方程。椭圆曲线的模性（谷山-志村定理）断言每个有理椭圆曲线对应一个权重 $2$ 的模形式，由此证明费马大定理。