费马大定理

费马大定理断言 $x^n+y^n=z^n$ 在 $n\ge3$ 时没有非平凡整数解，是数论中最著名的定理。

定理

对整数 $n\ge3$，方程

$$x^n+y^n=z^n$$

没有满足 $xyz\ne0$ 的整数解。

化归

只需证明 $n=4$ 与 $n=p$（奇素数）两种情形：若 $n$ 有素因子 $p$，$n=pm$，则 $x^n+y^n=z^n$ 的解给出 $(x^m)^p+(y^m)^p=(z^m)^p$ 的解。

关键步骤

• $n=4$：费马用无穷递降法证明 $x^4+y^4=z^4$ 无解（等价于 $X^4+Y^4=Z^2$ 无解）
• 库默尔（1850）：对正则素数证明成立，为此创立理想论
• 里贝特（1990）：证明 Serre 的 $\varepsilon$ 猜想（level lowering）：若弗赖曲线的模 $p$ 表示来自模形式，则必来自权重 $2$、水平 $2$ 的尖点形式
• 怀尔斯（1995）：证明半稳定椭圆曲线都是模的（谷山-志村猜想，见模形式），从而弗赖曲线为模；结合里贝特定理推出其模 $p$ 表示来自 $S_2(\Gamma_0(2))$，而该空间维数为 $0$，矛盾——故费马大定理成立

关联

若 $a^p+b^p=c^p$ 存在，弗赖曲线

$$y^2=x(x-a^p)(x+b^p)$$

给出一个半稳定但非模的椭圆曲线，与椭圆曲线的模性矛盾。