丢番图方程

丢番图方程是求整数或有理数解的整系数代数方程，其可解性由方程的次数与系数结构决定。

定义

整系数多项式方程 $f(x_1,\dots,x_n)=0$ 的丢番图方程指寻求整数解或有理数解；仅研究整数解时也称不定方程。

一次丢番图方程

二元一次方程 $ax+by=c$（$a,b,c\in\mathbb{Z}$）有整数解当且仅当 $g=\gcd(a,b)\mid c$，此时全部解为

$$x=x_0+\frac{b}{g}t,\qquad y=y_0-\frac{a}{g}t,\qquad t\in\mathbb{Z}$$

其中 $(x_0,y_0)$ 是任一特解（由辗转相除法求得）。

二次与高次

• 二次情形有完整理论：二元二次方程的有理点结构由毕达哥拉斯三元组（$x^2+y^2=z^2$）与佩尔方程（数论）（$x^2-Dy^2=1$）两类经典方程代表
• 高次情形一般无统一方法；费马大定理断言 $x^n+y^n=z^n\ (n\ge3)$ 无非平凡整数解，证明依赖椭圆曲线的模性（见费马大定理）

有理点视角

丢番图方程也可在有理数范围求解。二次曲线上有一个有理点即可整体有理参数化（见毕达哥拉斯三元组）；椭圆曲线上的有理点构成有限生成群（莫德尔定理，见椭圆曲线）。

示例

• $3x+5y=1$：$\gcd(3,5)=1\mid 1$，特解 $x_0=2,\ y_0=-1$，全部解 $x=2+5t,\ y=-1-3t$
• $4x+6y=3$：$\gcd(4,6)=2\nmid 3$，无整数解