黎曼ζ函数

黎曼ζ函数是解析数论的核心对象，其零点分布直接控制素数的分布规律。

定义

对 $\operatorname{Re} s > 1$，

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1}$$

第二个等号是欧拉乘积（$p$ 取遍素数）：把素数信息编码进一个复变量函数。

性质

• 解析延拓：$\zeta(s)$ 可解析延拓到全平面，仅在 $s=1$ 有简单极点（留数 $1$）；延拓意义下 $\zeta(-1) = -\dfrac{1}{12}$、$\zeta(0) = -\dfrac{1}{2}$
• 函数方程：$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\dfrac{\pi s}{2}\,\Gamma(1-s)\,\zeta(1-s)$
• 平凡零点：$s = -2, -4, -6, \dots$；其余零点全部位于临界带 $0 < \operatorname{Re} s < 1$ 内，且关于直线 $\operatorname{Re} s = \dfrac{1}{2}$ 对称
• 黎曼猜想：所有非平凡零点满足 $\operatorname{Re} s = \dfrac{1}{2}$
• 特殊值：$\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}$；一般地 $\zeta(2k) = \dfrac{(-1)^{k+1}B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$（$B_{2k}$ 为伯努利数）
• 对数导数：$-\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}$，其中 $\Lambda(n)$ 为冯·曼戈尔特函数

与素数的联系

对欧拉乘积取对数得 $\ln \zeta(s) = \displaystyle\sum_p \sum_{k\ge 1} \frac{1}{k\,p^{ks}}$。$\zeta(s)$ 在 $\operatorname{Re} s = 1$ 上无零点与素数定理等价。