示性类

如何证明两个向量丛不同构（如 $S^2$ 的切丛非平凡）？示性类 把向量丛映射到上同调类：丛同构则示性类相等，于是把"是否存在同构"的几何问题化为上同调环中的计算。

需先掌握向量丛与上同调（以及 同伦 中的函子性思想）。

定义

示性类是满足自然性（函子性）的映射 $c:\operatorname{Vect}(B)\to H^*(B)$：对连续 $f:A\to B$ 有 $c(f^*E)=f^*c(E)$。主要示性类：

• Stiefel–Whitney 类 $w_i(E)\in H^i(B;\mathbb{Z}/2)$（实丛）
• Chern 类 $c_i(E)\in H^{2i}(B;\mathbb{Z})$（复丛）
• Pontryagin 类 $p_i(E)\in H^{4i}(B;\mathbb{Z})$（实丛）
• Euler 类 $e(E)\in H^n(B;\mathbb{Z})$（可定向秩 $n$ 实丛）

性质

• 乘积公式：$w(E\oplus F)=w(E)w(F)$（全类 $w=1+w_1+\cdots$），Chern 类同理
• 平凡丛的示性类取平凡值，故"某示性类非平凡"⇒ 丛非平凡
• Euler 类与欧拉示性数相接：对可定向闭流形 $M$，$\langle e(TM),[M]\rangle=\chi(M)$

示例

• $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$：$TS^n\oplus\varepsilon^1=\varepsilon^{n+1}$，故 $w(TS^n)=1$（切丛的 Stiefel–Whitney 类平凡）
• $\mathbb{C}P^n$ 的切丛：$c(T\mathbb{C}P^n)=(1+a)^{n+1}$（$a$ 为超平面类）；$n=1$ 时 $c_1(TS^2)=2a$，且 $\int_{S^2}c_1=2=\chi(S^2)$
• $\mathbb{R}P^n$ 上的重言线丛 $\gamma$：$w_1(\gamma)\neq 0$，对应莫比乌斯带不可定向/非平凡
• Hopf 纤维化 $S^3\to S^2$ 是 Hopf 线丛的圆丛，$c_1=\pm 1\neq 0$，故非平凡

应用

示性类用于：判断流形的可嵌入性（Whitney 对偶）、向量场与标架的存在性、非平凡丛（Hopf 纤维化）的证明、代数几何（Chern 数、陈–高斯–博内）与数学物理（Chern–Simons 理论）。