纤维丛

很多几何对象"每个点上附着同一个标准形状"：每点一个向量空间（切空间）、一个圆、一个群。纤维丛 是这类结构的统一框架——局部是乘积 $U\times F$，整体可能像莫比乌斯带那样扭转。

需先掌握拓扑流形、覆盖空间（纤维为离散集的纤维丛特例）与同伦。

定义

纤维丛 是四元组 $(E,B,\pi,F)$：$E$（全空间）、$B$（底空间）、$F$（纤维）、连续满射 $\pi:E\to B$（投影），满足局部平凡性：$B$ 每点有开邻域 $U$ 与同胚 $\varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times F$，使 $\operatorname{pr}_1\circ\varphi=\pi$。$F$ 称为纤维，$\pi^{-1}(b)$ 称为 $b$ 上的纤维。

• 平凡丛 $E=B\times F$；截面 是连续 $s:B\to E$ 满足 $\pi\circ s=\mathrm{id}_B$（如向量场、规范场）

性质

• 覆盖空间 是纤维为离散空间的纤维丛（见覆盖空间）；反之纤维丛是"连续版本的覆盖"
• 纤维丛具有同伦提升性质（Serre 纤维化），把底空间的问题沿纤维分解
• 主 $G$-丛：纤维为李群 $G$ 且带相容自由 $G$-作用的纤维丛，是纤维丛的"群版本"

示例

• 微分流形 $M$ 的切丛 $TM$：纤维为切空间 $T_pM$，是向量丛的原型（见向量丛）
• 莫比乌斯带是 $S^1$ 上纤维为 $[0,1]$ 的非平凡丛（扭一次）
• Hopf 纤维化 $S^3\to S^2$：纤维 $S^1$。它非平凡：$H_2(S^3)=0$ 而 $H_2(S^2\times S^1)=\mathbb{Z}$，故 $S^3\ncong S^2\times S^1$

应用

纤维丛是示性类（见示性类）与 K-理论的载体；物理中规范场论用主丛描述电磁与 Yang–Mills 场，"丛的语言"由此进入数学物理。