拓扑共轭

两个动力系统"本质相同"是什么意思？拓扑共轭 给出精确答案：存在同胚把轨道"搬家"过去。它把难以分析的系统换成等价的标准模型（如符号动力系统），而不丢失任何动力学信息。

需先掌握拓扑动力系统与同胚。

定义

$(X,T)$ 与 $(Y,S)$ 拓扑共轭，若存在同胚 $h:X\to Y$ 使

$$h\circ T = S\circ h.$$

此时 $h$ 把 $T$ 的轨道一一送到 $S$ 的轨道：$h(T^n x)=S^n h(x)$ 对所有 $n\ge 0$ 成立。

性质

• 拓扑共轭保持全部"可在连续结构上定义的动力学性质"：周期点、稠密轨道（传递性）、极小性、回归、混沌性
• 弱化版本是拓扑半共轭（$h$ 满连续但不必单射），常用于把复杂系统化归到符号系统

示例

• 帐篷映射 $T(x)=1-|2x-1|$ 与 logistic 映射 $L(x)=4x(1-x)$（$[0,1]$ 上）经 $h(x)=\sin^2(\pi x/2)$ 共轭：$h\circ T=L\circ h$，故 $L$ 的混沌性由帐篷映射"免费"得到
• Smale 马蹄与二符号移位半共轭（横截同宿点 ⇒ 马蹄 ⇒ 符号动力学）

应用

拓扑共轭是动力系统分类的基本等价关系，也是把混沌系统化归为符号动力系统进行编码分析的桥梁。