二元运算

二元运算是把集合中两个元素"合成"为一个元素的规则，代数结构就是集合配上二元运算得到的整体。需先掌握集合。

定义

设 $S$ 为非空集合，若映射

$$\cdot : S\times S \to S$$

满足对任意 $a,b\in S$ 都有 $a\cdot b\in S$（结果仍在 $S$ 中），则称 $\cdot$ 为 $S$ 上的二元运算。

性质

• 封闭性：$a\cdot b \in S$ 是二元运算定义的一部分（见封闭性）。
• 结合律：$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$（见结合律）。
• 交换律：$a\cdot b = b\cdot a$。满足交换律的群称为阿贝尔群。

示例

• 整数集 $\mathbb{Z}$ 上的加法 $+$ 与乘法 $\times$ 都是二元运算。
• 矩阵乘法是 $n$ 阶方阵集上的二元运算（见矩阵乘法）。
• 李代数上的李括号 $[X,Y]$ 是二元运算。

应用

群、环、域的运算都是二元运算；保持二元运算结构的映射即同态。