専門試験

問題1

問3

(1)

次の関数のマクローリン級数を求めよ。ただし，$\alpha$と$x$は実数とする

$$f(x)=(1+x)^\alpha$$

(2)

(1)で求めた級数は，$\alpha$の値によって収束する条件が異なる。この級数が収束する$x$の範囲を求めよ

問3解

82-sc-r3 問題4 問題1-問3

---

問題2

---

問題3

0以上の整数値をとる独立な確率変数$X$,$Y$を考え，それぞれ以下の確率分布$f(X)$, $g(Y)$ に従うとする。ここで，$0 < q < 1$, $\lambda > 0$ である。また，E[ ] は期待値を表す。以下の 問に答えよ。導出過程も示すこと

$$f(X=x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}$$

$$g(Y=y)=\begin{cases}(1-q)q^{y-1}\,&(y>0)\\0\,&(y=0)\end{cases}$$

問1

ある確率変数$S$の分散が $\sigma_S^2$ であるとき，$\sigma_S^2 = E[S^2] - (E[S])^2$ が成立する ことを示せ

問2

確率変数 X のモーメント母関数 $M_X(t)$ は次のように表される。

$$M_X(t)=E[e^{Xt}]=\sum_{x=0}^{\infty} e^{Xt}f(X=x)=\exp(\lambda(e^t-1))$$

モーメント母関数とモーメントの関係を利用して，確率変数$X$の平均 $\mu_X$ と 分散$\sigma_X^2$を求め，$\lambda$ を用いて表せ。

問3

確率変数$Y$のモーメント母関数 $M_Y(t)$ が次の式で表されることを示せ。 なお，$t < -\log_e(q)$ とする

$$M_Y(t)=\frac{(1-q)e^t}{1-qe^t}$$

問4

確率変数 $Z=X+Y$ とするとき，$Z$のモーメント母関数 $M_Z(t)$ を，$X$と$Y$ の モーメント母関数 $M_X(t)$ と $M_Y(t)$ を用いて表せ

問5

$q=0.5$, $\lambda=1$とし，$t<\log_e(2)$とする。

1. 確率変数 $Z = X + Y$ のモーメント母関数$M_Z(t)$を求めよ
2. モーメント母関数$M_Z(t)$の t に関する微分を求めよ
3. 確率変数 Z の平均$\mu_Z$を求めよ

---

問題4

有两个独立变量的实函数$u(x,t)$可以在时域做拉普拉斯变换

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\sin(\pi x)\sin(\pi t)$$

$0\leq x\leq 1$, $0\leq t\leq \infty$
边界条件: $u(0,t)=u(1,t)=0$
初始条件: $u(x,0)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$
$u(x,t)$关于$t$的拉普拉斯变换$U(x,s)$是关于复素数$s$的函数

$$U(x,s)=\int_0^\infty u(x,t)e^{-st}\,dt$$

問1

用偏微分方程的拉普拉斯变换导出$U(x,s)$的表达式

問2

求解問1导出的微分方程式的解$U(x,s)$

問3

对問2得到的解进行拉普拉斯逆变换，解出$u(x,t)$

問題4解

82-sc-r3 問題4
例题-非齐次波动方程求解
拉普拉斯变换解决实指数积分

---

追試験

問題1

問3

$$y=\frac{2\log(x+1)}{x+1},(x>1)$$

$$x=\frac{1}{e}-1$$

$$x=e^2-1$$

$$y=0$$

求四条曲线围成的图形D的面积S和沿x轴旋转的体积V

問題2

問1

$$T = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 4 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

计算 $T$ 的逆矩阵

問2

以下の空欄 (1)～(5) を適切な数式で埋めよ。(1)～(4) の答えは $a_1, a_2, a_3, a_4$ を用いて表せ。
$X = \operatorname{span}\{\sin t, \cos t, \sin 3t, \cos 3t\}$ を考えると、$X$ の要素 $f$ は

$$f(t) = a_1 \sin t + a_2 \cos t + a_3 \sin 3t + a_4 \cos 3t \quad (a_1, a_2, a_3, a_4 \text{are real})$$

と表される。この $f$ の $t$ に関する微分 $f'$ も $X$ の要素である。すなわち、$f'$ は

$$f'(t) = b_1 \sin t + b_2 \cos t + b_3 \sin 3t + b_4 \cos 3t \quad (b_1, b_2, b_3, b_4 \text{are real})$$

と表される。ここで、

$$b_1 = \text{(1)}, \quad b_2 = \text{(2)}, \quad b_3 = \text{(3)}, \quad b_4 = \text{(4)}$$

となる。このとき、

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix} = N \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{bmatrix}$$

を満たす行列 $N = \text{(5)}$ を、$X$ の要素を $t$ で微分する写像の、基底 $\{\sin t, \cos t, \sin 3t, \cos 3t\}$ に関する行列表示と呼ぶ。

問3

$X = \operatorname{span}\{\sin t, \cos t, \sin 3t, \cos 3t\}$ とする。

(1)

次式を満たす実数 $c_1, c_2, c_3, c_4$ および $d_1, d_2, d_3, d_4$ を求めよ。

$$\sin^3 t = c_1 \sin t + c_2 \cos t + c_3 \sin 3t + c_4 \cos 3t$$

$$\cos^3 t = d_1 \sin t + d_2 \cos t + d_3 \sin 3t + d_4 \cos 3t$$

(2)

$X$ の任意の要素 $f$ が $\sin t, \cos t, \sin^3 t, \cos^3 t$ の線形結合で表せることを示せ。
应用三倍角公式进行傅里叶级数分解

(3)

$X$ の要素 $f$ を $t$ で微分する写像の、基底 $\{\sin t, \cos t, \sin^3 t, \cos^3 t\}$ に関する行列表示を求めよ。
傅里叶级数基底线性变换

---

問題3

問3

ある実験により，量$x_{1}$と$x_{2}$を測定することを考える。このとき，測定値$y$は次の ように表される

$$y(a_{1},a_{2}) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \epsilon$$

$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\exp(-\frac{\epsilon^2}{2})$$

測定パラメータを変化させながら，測定を３回行い，次のような結果を得た

测定参数 ($a_{1}$, $a_{2}$)	$(1,0)$	$(0,1)$	$(1,1)$
测定值$y$	-5	7	1

(1)

３回測定したときの$x_1$と$x_2$に関する尤度$L$を求めよ
82-sc-r3 追試験 問題3 問3 (1)

(2)

最尤法により$x_1$と$x_2$を推定せよ

(3)

文献から，$x_1$と$x_2$の差 $x_1-x_2$ は，平均 1 ，分散 2 の正規分布に従うことが確認さ れた。この情報を事前確率に利用して，３回測定したときの$x_1$ と$x_2$を事後確率最大化法により推定せよ

82-sc-r3 追試験 問題3 問3 (3)