四阶逆矩阵

给定的矩阵 $T$ 是：

$$T = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 4 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

我们可以首先简化这个矩阵，因为矩阵前面有一个常数系数 $\frac{1}{4}$，我们可以将这个系数乘入矩阵中的每个元素。简化后的矩阵 $T$ 为：

$$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$$

接下来，我们需要计算这个矩阵的逆。由于矩阵 $T$ 的结构较为特殊，我们可以逐步通过初等行变换来寻找逆矩阵。

计算过程

1. 初等行变换:

   • 我们首先将第三行和第四行乘以 $-4$ 来清除分母：

     $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   • 接下来，我们需要消除第一行和第二行中的 $\frac{3}{4}$。我们可以将第三行的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第一行，将第四行的 $-\frac{3}{4}$ 倍加到第二行。

2. 结果:

   • 完成上述操作后，得到的矩阵是：

     $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   • 这实际上已经是一个单位矩阵，说明我们已经成功地通过逆操作恢复了单位矩阵，这些操作的逆操作就构成了 $T$ 的逆矩阵。

3. 计算逆矩阵:

   • 逆操作包括：
     • 将第三行和第四行乘以 $-1$，然后再分别加到第一行和第二行。
     • 由此得到的逆矩阵 $T^{-1}$ 是：

       $$T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$

通过以上步骤，我们成功地计算出了矩阵 $T$ 的逆矩阵。