第二类曲面积分例题 1

当向量场从 $(x, y, 0)$ 变为 $(x^3, z^2, y)$ 时，需要重新计算通过圆柱侧面以及上下两个平面的通量。以下是详细步骤：

圆柱侧面的通量计算

圆柱的半径为$R = 1$，高度为$H = 1$。圆柱侧面的参数化为：

$$\mathbf{r}(\theta, z) = (\cos \theta, \sin \theta, z)$$

面积元素

通过之前的推导，我们知道圆柱侧面的面积元素为：

$$d\mathbf{S} = (\cos \theta, \sin \theta, 0) \, d\theta \, dz$$

计算通量

对于新的向量场 $\mathbf{A} = (x^3, z^2, y)$，在圆柱侧面上：

$$\mathbf{A} = (\cos^3 \theta, z^2, \sin \theta)$$

通量计算为：

$$\int_{\text{侧面}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^H \int_0^{2\pi} (\cos^3 \theta, z^2, \sin \theta) \cdot (\cos \theta, \sin \theta, 0) \, d\theta \, dz$$

计算点积：

$$(\cos^3 \theta) \cos \theta + (z^2) \sin \theta = \cos^4 \theta$$

通量积分为：

$$\int_0^1 \int_0^{2\pi} \cos^4 \theta \, d\theta \, dz$$

这里用到一个常用的三角积分公式：

$$\int_0^{2\pi} \cos^4 \theta \, d\theta = \frac{3\pi}{4}$$

所以：

$$\int_0^1 \int_0^{2\pi} \cos^4 \theta \, d\theta \, dz = \int_0^1 \frac{3\pi}{4} \, dz = \frac{3\pi}{4}$$

上下平面的通量计算

底面（z = 0）

在底面 $z = 0$ 上，向量场 $\mathbf{A} = (x^3, 0, y)$：

$$d\mathbf{S} = (0, 0, -1) \, dA = (0, 0, -1) \, r \, dr \, d\theta$$

通量计算为：

$$\int_{\text{底面}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3 \cos^3 \theta, 0, r \sin \theta) \cdot (0, 0, -1) \, r \, dr \, d\theta$$

$$= -\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \sin \theta \, r \, dr \, d\theta = -\int_0^{2\pi} \sin \theta \, d\theta \int_0^1 r^3 \, dr$$

其中，$\int_0^{2\pi} \sin \theta \, d\theta = 0$，因此底面的通量为零。

顶面（z = 1）

在顶面 $z = 1$ 上，向量场 $\mathbf{A} = (x^3, 1, y)$：

$$d\mathbf{S} = (0, 0, 1) \, dA = (0, 0, 1) \, r \, dr \, d\theta$$

通量计算为：

$$\int_{\text{顶面}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3 \cos^3 \theta, 1, r \sin \theta) \cdot (0, 0, 1) \, r \, dr \, d\theta$$

$$= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \sin \theta \, r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sin \theta \, d\theta \int_0^1 r^3 \, dr$$

其中，$\int_0^{2\pi} \sin \theta \, d\theta = 0$，因此顶面的通量也为零。

总结

1. 圆柱侧面的通量为：

$$\frac{3\pi}{4}$$

2. 底面和顶面的通量均为零。

所以总通量仅由侧面贡献，结果为 $\frac{3\pi}{4}$。