定义

全概率公式用于计算一个事件的总概率，通过一组互斥且完备的子事件来表示。

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

全概率公式就是将下图中$A$划分为$A_1$, $A_2$...这种拆分保证它们之间天然互斥. ![[Screenshot_20240812_021232_Samsung Notes.jpg]]

Warning

图中的AB与上面的公式是相反的

推导

假设事件 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 构成一个完备事件组：

$$\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega \quad \text{且} \quad B_i \cap B_j = \emptyset \ (i \neq j)$$

事件 $A$ 可以表示为：

$$A = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \cdots \cup (A \cap B_n)$$

由于 $B_i$ 互斥，因此：

$$P(A) = P\left(\bigcup_{i=1}^n (A \cap B_i)\right) = \sum_{i=1}^n P(A \cap B_i)$$

根据条件概率的定义：

$$P(A \cap B_i) = P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

因此：

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

示例

假设一个人乘坐公交车和地铁上班的概率分别为 $0.6$ 和 $0.4$。准时到达的概率如下：

• 公交车：$P(A|B) = 0.8$
• 地铁：$P(A|M) = 0.9$ 总概率：

$$P(A) = 0.8 \cdot 0.6 + 0.9 \cdot 0.4 = 0.84$$