全概率公式

定义

全概率公式用于计算一个事件的总概率，通过一组互斥且完备的子事件来表示。
如果将样本空间 $\Omega$ 划分为一组互斥且完备的事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$，那么任意一个子事件 $B$ 的总概率，可以通过计算 $B$ 在每一个 $A_i$ 上的条件概率并加权求和得到。

$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)$$

如图所示, 定义红色区域为A, 样本空间 $Ω=A$ , 蓝色区域B为A的子集, 整个大圆被红色的扇区 $A_1, A_2, A_3$ 完全分割, 这种拆分保证它们之间天然互斥。为了求得蓝色小圆 $B$ 的总面积（概率），可将 $B$ 在每个 $A_i$ 中的那一部分（即交集 $A_i \cap B$）的面积加起来。

Note

与贝叶斯定理比较

推导

假设事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 构成一个完备事件组（即对样本空间 Ω 的一个划分）：

$$\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega \quad \text{且} \quad A_i \cap A_j = \emptyset \ (i \neq j)$$

对于任意事件 $B$，它都可以被表示为与这个划分中每一部分的交集的并集：

$$B = (B \cap A_1) \cup (B \cap A_2) \cup \cdots \cup (B \cap A_n)$$

由于 $A_i$ 之间是互斥的，因此 $(B \cap A_i)$ 这些交集之间也必然是互斥的。所以，可以将并集的概率直接写为概率的和：

$$P(B) = P\left(\bigcup_{i=1}^n (B \cap A_i)\right) = \sum_{i=1}^n P(B \cap A_i)$$

根据条件概率的乘法公式 $P(B \cap A_i) = P(B|A_i)P(A_i)$，将其代入上式，即可得到全概率公式：

$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)$$

示例

假设乘坐公交（事件 $A_1$）或乘坐地铁（事件 $A_2$）选择的概率分别为 $P(A_1) = 0.6$ 和 $P(A_2) = 0.4$。

如果选择公交，能准时到达（事件 $B$）的概率为 $P(B|A_1) = 0.8$。
如果选择地铁，能准时到达（事件 $B$）的概率为 $P(B|A_2) = 0.9$。

那么，无论选择何种方式，能准时到达的总概率 $P(B)$ 为：

$$\begin{aligned} P(B) &= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) \\ &= 0.8 \cdot 0.6 + 0.9 \cdot 0.4 \\ &= 0.48 + 0.36 = 0.84 \end{aligned}$$