狄利克雷逼近定理

狄利克雷逼近定理断言任意实数都能被分母不太大的有理数任意好地逼近，是丢番图逼近理论的起点。

定理

对任意实数 $\alpha$ 与整数 $N\ge1$，存在整数 $p,q$（$1\le q\le N$）使

$$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{qN}\le\frac{1}{q^2}$$

推导

把 $0,\alpha,2\alpha,\dots,N\alpha$ 的分数部分放入 $N$ 个长度为 $\frac1N$ 的半开小区间。$N+1$ 个点分入 $N$ 个盒子，必有两个相距小于 $\frac1N$；取它们的差得 $q=|j-i|\le N$ 与整数 $p$，即 $|q\alpha-p|<\frac1N$。

性质

• 对任意 $N$ 成立，故 $q\to\infty$ 时不等式 $\left|\alpha-\frac pq\right|<\frac1{q^2}$ 有无穷多解
• 几何视角：平行四边形 $\{(q,p):|q|<\frac1\varepsilon,\ |q\alpha-p|<\varepsilon\}$ 面积 $4=2^2\det\mathbb{Z}^2$，由 Minkowski凸体定理 的紧版本给出非零整点
• 丢番图逼近理论中，连分数给出最佳逼近（逼近误差最小的分母恰为连分数渐近分数的分母）

示例

• $\alpha=\sqrt2\approx1.4142$，$N=10$：$q=5$、$p=7$ 给出 $|1.4142-1.4|=0.0142<0.02=\frac1{5\cdot10}$
• $\alpha=\pi$：$q=7$、$p=22$，$|\pi-\frac{22}{7}|\approx0.00126<\frac1{49}\approx0.0204$