基本区域

基本区域是格在欧氏空间中"一个周期的代表区域"，其体积恰为格的行列式，是把体积估计转化为格点存在性的桥梁。

定义

对格 $\Lambda=\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}v_i$，其基本平行多面体为

$$\Pi=\left\{\sum_{i=1}^n t_i v_i:0\le t_i<1\right\}$$

任意可测集 $F$，若 $\mathbb{R}^n$ 中每个点都能唯一写成 $\lambda+x$（$\lambda\in\Lambda$，$x\in F$）的形式，则称 $F$ 为 $\Lambda$ 的一个基本区域。

性质

• $\operatorname{vol}\Pi=\det\Lambda$，且 $\mathbb{R}^n=\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}(\lambda+\Pi)$，即基本区域平移铺满全空间
• 任何基本区域的体积都等于 $\det\Lambda$
• Blichfeldt 定理：若可测集 $S\subseteq\mathbb{R}^n$ 满足 $\operatorname{vol}S>\det\Lambda$，则存在两个不同点 $x,y\in S$ 使 $x-y\in\Lambda$
  • 证明思路：把 $S$ 按格平移分割后映射到同一基本区域，影子总测度仍为 $\operatorname{vol}S>\det\Lambda$，必有重叠，重叠处给出 $x-y\in\Lambda$

示例

• $\mathbb{Z}^n$：$[0,1)^n$ 是基本区域，体积 $1$
• 正三角格：以 $(0,0),(1,0),(1/2,\sqrt3/2)$ 为顶点的菱形是基本区域，面积 $\sqrt3/2$